Question

【题目】《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面．

(1)求证：平面．试判断四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，说明理由；

(2)若，求点A到平面的距离．

Answer 1

【答案】（1）四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别为，，，（2）

【解析】

（1）利用线面垂直的判定定理进行证明，根据“鳖臑”定义进行判断即可；

（2）利用等体积转化方法求解．

(1)因为，，由余弦定理得．

从而，故．

由平面，可得．

因为，所以平面．

由平面，平面，可知四面体的四个面都是直角三角形，

即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别为，，，．

(2)因为为平行四边形，，，，

所以，，，．

所以的面积为．

在中，，，，所以．

在中，，，，

所以的面积为．

设点A到平面的距离为d，则三棱锥的体积为．

因为平面，所以三棱锥的体积为．

所以，，

即点A到平面的距离为．