Question

3．四棱锥P-ABCD中底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，面PAD⊥面ABCD，Q为AD的中点，PA=PD=2，AD=2BC=2，CD=$\sqrt{3}$．
①求证：QB⊥面PAD；
②求二面角Q-PA-B的正切值．

Answer 1

分析 ①由已知得DQ$\underset{∥}{=}$CB，从而得到BQ⊥AD，由此能证明QB⊥面PAD．
②以Q为原点，QA为x轴，QB为y轴，QP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角Q-PA-B的正切值．

解答 ①证明：∵四棱锥P-ABCD中底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，
Q为AD的中点，AD=2BC=2，
∴DQ$\underset{∥}{=}$CB，∴四边形BCDQ是矩形，∴BQ⊥AD，
∵面PAD⊥面ABCD，∴QB⊥面PAD．
②解：∵四棱锥P-ABCD中底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，
面PAD⊥面ABCD，Q为AD的中点，PA=PD=2，AD=2BC=2，CD=$\sqrt{3}$，
∴QP⊥平面ABCD，BQ⊥AD，
∴以Q为原点，QA为x轴，QB为y轴，QP为z轴，建立空间直角坐标系，
则Q（0，0，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），A（1，0，0），B（0，$\sqrt{3}$，0），
$\overrightarrow{PA}$=（1，0，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{PB}$=（0，$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$），
设平面PAB的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PA}=x-\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=\sqrt{3}y-\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}，1，1$），
又平面PAQ的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，1，0），
设二面角Q-PA-B的平面角为θ，
则cosθ=|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{1}{\sqrt{5}}$|=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴tanα=2．
∴二面角Q-PA-B的正切值为2．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力和向量法的合理运用．