Question

已知点P（

t2

2

，t）（|t|＞2），过P作圆A：（x-1）²+y²=1的两条切线分别切圆于E，F两点，交y轴于B．C两点如图：
（1）当P点坐标为（8，4）时，求直线EF的方程；
（2）用字母t表示切线段PE的长，用字母t表示线段BC的长．
（3）求△PBC面积的最小值．及对应P点坐标．

Answer 1

分析：（1）根据题意得到P、E、A、F四点共圆，表示出以AP为直径圆的方程，与已知圆A方程相减求出公共弦EF的方程即可；
（2）在直角三角形AEP中，利用勾股定理表示出PE，再由切线长定理得到PE=PF，BO=BE，CO=CF，用两种方法分别表示出三角形PBC的面积，两者相等表示出BC即可；
（3）设m=t²-4，代入表示出的三角形PBC中，整理后利用基本不等式求出面积的最小值，以及此时t的值，即可确定出此时P的坐标．

解答：解：（1）由题意可得，P、E、A、F四点共圆，且以AP为直径，此时圆方程为（x-1）（x-8）+y（y-4）=0，
∵EF是圆（x-1）²+y²=1与圆（x-1）（x-8）+y（y-4）=0的公共弦，
∴把这两个圆的方程相减，得到公共弦EF所在的直线的方程为7x+4y-8=0；
（2）由题意得：PE=

PA2-1

=

( t2 2 -1)2+t2-1

=

t2

2

，
由切线长知识PE=PF，BO=BE，CO=CF，
∴S_△PBC=

1

2

BC•P_横坐标=

1

4

BC•t²，
又S_△PBC=

1

2

（BO+CO+BE+CF+PE+PF）r=

1

2

（2BC+2PE）r=BC+

1

2

t²，
∴

1

4

BC•t²=BC+

1

2

t²，
解得：BC=

2t2

t2-4

；
（3）设m=t²-4，S_△PBC=

1

2

BC•P_横坐标=

1

4

•

2t2

t2-4

•t²=

1

2

(m+4)2

m

=

1

2

（m+

16

m

+8）≥8，
当且仅当m=4，即t=±2

2

时取等号，此时P（4，±2

2

）．

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，三角形的面积公式，直线的一般式方程，以及点到直线的距离公式，熟练掌握公式是解本题的关键．