Question

10．若△OAB的垂心H（1，0）恰好为抛物线y²=2px的焦点，O为坐标原点，点A、B在此抛物线上，则此抛物线的方程是y²=4x，△OAB面积是10$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 根据焦点为H（1，0），求出抛物线的方程，利用对称性，及AH⊥OB，得$\frac{2a}{{{a^2}-1}}•\frac{2b}{b^2}=-1$，解得$a=\sqrt{5}$（不妨取正值），即可计算面积．

解答 解：因为焦点为H（1，0），所以抛物线的方程是y²=4x．
设A（a²，2a），B（b²，2b），由抛物线的对称性可知，b=-a．
又因为AH⊥OB，得$\frac{2a}{{{a^2}-1}}•\frac{2b}{b^2}=-1$，解得$a=\sqrt{5}$（不妨取正值），
从而可得△OAB面积是$\frac{1}{2}×5×4\sqrt{5}$=10$\sqrt{5}$．
故答案为${y^2}=4x，10\sqrt{5}$．

点评 本题考查抛物线的方程与性质，考查方程思想的运用，属于中档题．