Question

【题目】在平面直角坐标系中,圆外的点在轴的右侧运动,且到圆上的点的最小距离等于它到轴的距离,记的轨迹为.

（1）求的方程；

（2）过点的直线交于,两点,以为直径的圆与平行于轴的直线相切于点,线段交于点,证明：的面积是的面积的四倍.

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】

法一：（1）设P（x，y），x＞0，F（1，0）．由点P在⊙F外，可得点P到⊙F上的点的最小距离为|PF|﹣1，由题意可得：|PF|﹣1＝x，利用两点之间的距离公式即可得出．

（2）设N（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2）．则D（，）．由题意可设直线AB的方程为：y＝k（x﹣1）（k≠0）．与抛物线方程联立化为：k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0．利用根与系数的关系、中点坐标公式可得D，M，N的坐标．再利用三角形面积计算公式即可得出．

法二：（1）由题意得，点到圆的距离等于到直线的距离，根据抛物线的定义求得轨迹方程. （2）设，，由题意可设直线AB的方程为：与抛物线方程联立，利用根与系数的关系、中点坐标公式可得D的坐标，结合

，可得，进而求出N的坐标，利用点的位置关系得到面积的关系.

法三：（1）与法一同；（2）设，，由题意可设直线AB的方程为：与抛物线方程联立，利用根与系数的关系、中点坐标公式可得D，M的坐标，利用斜率公式计算得到，再利用长度关系得到面积的关系.

解法一：（1）设，依题意，.

因为在圆外，所以到圆上的点的最小距离为

依题意得，即，

化简得的方程为.

（2）设，，，则.

依题意可设直线的方程，

由得.

因为，

所以，

则有，故，

由抛物线的定义知.

设，依题意得，所以.

又因为，所以，

解得，所以.，

因为在抛物线上，所以，即，

所以，

，

故

解法二：（1）设，依题意.

因为在圆外，所以到圆上的点的最小距离为.

依题意得，点到圆的距离等于到直线的距离，

所以在以为焦点，为准线的抛物线上.

所以的方程为..

（2）设，，

因为直线过，依题意可设其方程

由得，

因为，所以，

则有.

因为是的中点，所以.

由抛物线的定义得.，

设圆与相切于，

因为与抛物线相交于，所以，且，

所以，即，解得，

设，则，且，所以，

因为，所以为的中点，所以，

又因为为的中点，，所以.

解法三：（1）同解法一.

（2）设，，连结，.

因为直线过，依题意可设其方程

由得.，

因为，所以，

所以.

因为，，又因为，

所以，解得，所以，

所以，故.

又因为，所以，从而.

所以，

又，所以.