Question

已知点M是抛物线y²=8x上的动点，F为抛物线的焦点，点A在圆C：（x-3）²+（y+1）²=1上，则|AM|+|MF|的最小值为

4

．

Answer 1

分析：先根据抛物线方程求得准线方程，过点M作MN⊥准线，垂足为N，根据抛物线定义可得|MN|=|MF|，问题转化为求|MA|+|MN|的最小值，根据A在圆C上，判断出当N，M，C三点共线时，|MA|+|MN|有最小值，进而求得答案．

解答：解：抛物线y²=8x的准线方程为：x=-2
过点M作MN⊥准线，垂足为N
∵点M是抛物线y²=8x的一点，F为抛物线的焦点
∴|MN|=|MF|
∴|MA|+|MF|=|MA|+|MN|
∵A在圆C：（x-3）²+（y+1）²=1，圆心C（3，-1），半径r=1
∴当N，M，C三点共线时，|MA|+|MF|最小
∴（|MA|+|MF|）_min=（|MA|+|MN|）_min=|CN|-r=5-1=4
∴（|MA|+|MF|）_min=4
故答案为：4

点评：本题的考点是圆与圆锥曲线的综合，考查抛物线的简单性质，考查距离和的最小．解题的关键是利用化归和转化的思想，将问题转化为当N，M，C三点共线时，|MA|+|MF|最小．