Question

设定义在[a，b]（a≥-4）上的函数f（x），若函数与f（x）的定义域与值域都相同，则实数m的取值范围为________．

Answer 1

分析：令，由题意知函数的定义域与值域均为[a，b]（a≥-4），由于函数在定义域内为增函数，所以，从而可转化为方程在区间[-4，+∞）内有两个不等的根．构造函数，y=x-2m，进一步转化为函数图象有两个不同交点，从而得解．
解答：令，由题意知函数的定义域与值域均为[a，b]（a≥-4）
又函数在定义域内为增函数，所以，即方程在区间[-4，+∞）内有两个不等的根．
如图，构造函数，y=x-2m则可知直线与抛物线相切时，两函数图象有一个交点，过点（-4，0）时，有两个交点．
当直线与抛物线相切时，，∴x²-（4m+1）x+4m²-4=0，
∴△=（4m+1）²-4（4m²-4）=0，∴
当直线过点（-4，0）时，-4-2m=0，∴m=-2
根据图象可知，实数m的取值范围为
故答案为：
点评：本题以函数为载体，考查函数的性质，考查数形结合的数学思想，解题的关键是转化为方程在区间[-4，+∞）内有两个不等的根，从而利用数形结合的思想求解．