【题目】如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1,且E,F分别是BC,B1C1中点.
(1)求证:A1B∥平面AEC1;
(2)求直线AF与平面AEC1所成角的正弦值.
【答案】(1)见解析(2).
【解析】
(1) 连接交于点,连接再证明即可.
(2) 作于,连接,再证明即为直线与平面所成角再求解即可.
证明:(1)连接A1C交AC1于点O,连接EO
∵ACC1A1为正方形,∴O为A1C中点,
又E为CB中点,∴EO为△A1BC的中位线,
∴EO∥A1B,
又EO平面AEC1,A1B平面AEC1,
∴A1B∥平面AEC1.
解:(2)作FM⊥EC1于M,连接AM,
∵AB=AC,E为BC的中点,
∴AE⊥BC,
又∵平面ABC⊥平面BCC1B1,且平面ABC⊥平面BCC1B1=BC,
AE平面ABC,∴AE⊥平面BCC1B1,
而AE平面AEC1,
∴平面AEC1⊥平面BCC1B1,∴FM⊥平面AEC1,
∴∠FAM即为直线AF与平面AEC1所成角,
设AB=AC=AA1=1,
则在Rt△AFM中,
在中,,,
因为,所以,解得,
在中,,故,
∴直线AF与平面AEC1所成角的正弦值sin∠FAM.
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【题目】如果函数f(x)=x3-x满足:对于任意的x1,x2∈[0,2],都有|f(x1)-f(x2)|≤a2恒成立,则a的取值范围是( )
A. [-, ]
B. [-, ]
C. (-∞,- ]∪[,+∞)
D. (-∞,- ]∪[,+∞)
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【题目】在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的方程为,过点的直线的参数方程为(为参数).
(Ⅰ)求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程;
(Ⅱ)若直线与曲线交于、两点,求的值,并求定点到,两点的距离之积.
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【题目】圆O:x2+y2=8内有一点P(﹣1,2),AB为过点P且倾斜角为α的弦,
(1)当α=135°时,求AB的长;
(2)当弦AB被点P平分时,写出直线AB的方程.
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【题目】某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分用茎叶图表示,茎叶图中甲得分的部分数据被墨迹污损不清(如图1),但甲得分的折线图完好(如图2),则下列结论错误的是( )
A.乙运动员得分的中位数是17,甲运动员得分的极差是19
B.甲运动员发挥的稳定性比乙运动员发挥的稳定性差
C.甲运动员得分有的叶集中在茎1上
D.甲运动员得分的平均值一定比乙运动员得分的平均值低
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【题目】设集合,.
(1)若集合含有三个元素,且,这样的集合有多少个?所有集合中个元素之和是多少?
(2)若集合各含有三个元素,且,,,这样的集合有多少种配对方式?
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