Question

直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是菱形，∠ABC=45°，其侧面展开图是边长为8的正方形．E、F分别是侧棱AA₁、CC₁上的动点，AE+CF=8．
（1）证明：BD⊥EF；
（2）P在棱AA₁上，且AP=2，若EF∥平面PBD，求：CF；
（3）多面体AE-BCFB₁的体积V是否为常数？若是，求这个常数，若不是，求V的取值范围．

Answer 1

证明：（1）连接AC，∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是直四棱柱，∴AA₁⊥平面ABCD，
∵BD?ABCD，∴AA₁⊥BD（2分），
∵AA₁∩AC=A，∴BD⊥平面AA₁C₁C，
∵EF?平面AA₁C₁C，∴BD⊥EF（4分）．

（2）连AC交BD与O，再取AA₁中点Q，连QC，
∵EF∥平面PBD，平面PBD∩平面ACEF=PO，
∴EF∥PO；∵AQ=4，AP=2，
∴QC∥PO，∴EF∥QC
又∵AA₁∥CC₁
∴EFCQ为平行四边形，∴FC=EQ
∵AE+CF=8
∴CF=2（8分）

（3） 多面体AE-BCFB₁是四棱锥B₁-AEFC和三棱锥B₁-ABC的组合体，
由题意，BB₁=8，AB=2，BB₁三棱锥B₁-ABC的高，BO是四棱锥B₁-AEFC的高，
∴=是常数．（12分）
分析：（1）由题意知AC⊥BD，AA₁⊥平面ABCD得BD⊥平面AA₁C₁C，再证BD⊥EF；
（2）由EF∥平面PBD得EF∥PO，再由题意构造中位线得QC∥PO，证出EFCQ为平行四边形再由题意求CF；
（3）把多面体AE-BCFB₁分割成四棱锥B₁-AEFC和三棱锥B₁-ABC，分别求出体积在求和．
点评：本题考查了线线、线面的垂直和平行的定理应用，如何实现线线和线面垂直和平行的转化；求多面体体积时常用分割法求，注意几何体的高．