Question

某圆经过点A（2，-3）和B（-2，-5）
①若圆的面积最小，求圆的方程．
②过C（3，-5）向①中圆作切线，求切线的方程．

Answer 1

分析：①要使圆的面积最小，线段AB为圆的直径，线段AB的中点坐标即为所求圆的圆心，利用两点间的距离公式求出线段AB长度的一半即为圆的半径，根据求出的圆心和半径写出圆的标准方程即可．
②先假设切线方程，再利用圆心到直线的距离等于半径，建立方程，即可求切线的方程．

解答：解：①要使圆的面积最小，则AB为圆的直径，
∵点A（2，-3）和B（-2，-5）
∴AB的中点坐标为（0，-4）
即所求圆心坐标为（0，-4），
而|AB|=

(2+2)2+(-3+5)2

=2

5

，所以圆的半径r=

5

，
∴所求圆的方程为：x²+（y+4）²=5．
②设切线方程为：y+5=k（x-3），即kx-y-3k-5=0
利用圆心到直线的距离等于半径可得：

|4-3k-5|

k2+1

=

5

∴2k²+3k-2=0
∴k=-2或k=

1

2

∴切线方程为：2x+y-1=0或x-2y-13=0

点评：本题重点考查圆的方程，考查圆的切线方程，灵活运用中点坐标公式及两点间的距离公式化简求值，是解题的关键．