Question

如图所示，已知OPQ是半径为1，圆心角为

π

3

的扇形，ABCD是扇形的内接矩形，B，C两点在圆弧上，OE是∠POQ的平分线，连接OC，记∠COE=α，问：角α为何值时矩形ABCD面积最大，并求最大面积．

Answer 1

分析：先把矩形的各个边长用角α表示出来，进而表示出矩形的面积；再利用角α的范围来求出矩形面积的最大值即可．

解答：解：设OE交AD于M，交BC于N，显然矩形ABCD关于OE对称，而M，N均为AD，BC的中点，在Rt△ONC中，CN=sinα，ON=cosα．OM=DM/tan

π

6

=

3

DM=

3

CN=

3

sinα，∴MN=ON-OM=cosα-

3

sinα
即AB=cosα-

3

sinα∴BC=2CN=2sinα
故：S矩=AB•BC=(cosα-

3

sinα)•2sinα
=2sinαcosα-2

3

sin2α=sin2α-

3

(1-cos2α)=sin2α+

3

cos2α-

3

=2sin(2α+

π

3

)-

3

∵0＜α＜

π

6

，∴0＜2α＜

π

3

，

π

3

＜2α+

π

3

＜

2π

3

故当2α+

π

3

=

π

2

，即α=

π

12

时，S_矩形取得最大，此时S矩形=2-

3

．

点评：本题主要考查解三角形的有关知识在实际生活中的应用问题；解决这一类型题目的关键在与把文字语言转化为数学表达式，最终利用数学知识解题．