Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足sinB+

3

cosB=

3

，a=1．
（I）求角B的大小；
（II）若b是a和c的等比中项，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（I）题设利用两角和公式整理等式求得sin（B+

π

3

）的值，进而求得B．
（II）根据等比中项性质可求得b²=ac，代入余弦定理中求得a与c的值，进而可推断出三角形为正三角形，进而求得三角形的面积．

解答：解：（I）由sinB+

3

cosB=

3

，
得sin(B+

π

3

)=

3

2

，
由B∈（0，π）得B+

π

3

∈(

π

3

，

4π

3

)，故B+

π

3

=

2π

3

，
得B=

π

3

．
（II）由b是a和c的等比中项得b²=ac
又由余弦定理得b²=a²+c²-2ac•cosB=a²+c²-2ac•cos

π

3

=a²+c²-ac，
故ac=a²+c²-ac，得（a-c）²=0，得a=c=1，
∴b=

ac

=1
故△ABC为正三角形
故S△ABC=

3

4

．

点评：本题主要考查了余弦定理的应用，两角和公式的化简求值．考查了学生对基础知识点综合运用．