【题目】已知动圆M恒过点(0,1),且与直线y=﹣1相切.
(1)求圆心M的轨迹方程;
(2)动直线l过点P(0,﹣2),且与点M的轨迹交于A、B两点,点C与点B关于y轴对称,求证:直线AC恒过定点.
【答案】
(1)解:∵动点M到直线y=﹣1的距离等于到定点C(0,1)的距离,
∴动点M的轨迹为抛物线,且 =1,解得:p=2,
∴动点M的轨迹方程为x2=4y
(2)解:证明:由题意可知直线l的斜率存在,
设直线l的方程为:y=kx﹣2,A(x1,y1),B(x2,y2),则C(﹣x2,y2).
联立 ,化为x2﹣4kx+8=0,
△=16k2﹣32>0,
解得k> 或k<﹣
.
∴x1+x2=4k,x1x2=8.
直线直线AC的方程为:y﹣y2=﹣ (x+x2),
又∵y1=kx1﹣2,y2=kx2﹣2,
∴4ky﹣4k(kx2﹣2)=(kx2﹣kx1)x+kx1x2﹣kx22,
化为4y=(x2﹣x1)x+x2(4k﹣x2),
∵x1=4k﹣x2,
∴4y=(x2﹣x1)x+8,
令x=0,则y=2,
∴直线AC恒过一定点(0,2)
【解析】(1)由题意可知圆心M的轨迹为以(0,1)为焦点,直线y=﹣1为准线的抛物线,根据抛物线的方程即可求得圆心M的轨迹方程;(2)由题意可知直线l的斜率存在,设直线l的方程为:y=kx﹣2,A(x1,y1),B(x2,y2),则C(﹣x2,y2).代入抛物线方,由韦达定理及直线直线AC的方程为:y﹣y2=﹣ (x+x2),把根与系数的关系代入可得4y=(x2﹣x1)x+8,令x=0,即可得出直线恒过定点.
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【题目】已知a>0,函数f(x)=ax2+bx+c,若x0满足关于x的方程2ax+b=0,则下列选项的命题中为假命题的是( )
A.x∈R,f(x)≤f(x0)
B.x∈R,f(x)≥f(x0)
C.x∈R,f(x)≤f(x0)
D.x∈R,f(x)≥f(x0)
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【题目】已知函数,函数
.
(1)若函数,
的最小值为-16,求实数
的值;
(2)若函数在区间
上是单调减函数,求实数
的取值范围;
(3)当时,不等式
的解集为
,求实数
的取值范围.
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【题目】已知圆与圆
(1)若直线与圆
相交于
两个不同点,求
的最小值;
(2)直线上是否存在点
,满足经过点
有无数对互相垂直的直线
和
,它们分别与圆
和圆
相交,并且直线
被圆
所截得的弦长等于直线
被圆
所截得的弦长?若存在,求出点
的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知函数将
的图象向右平移两个单位,得到函数
的图象.
(1)求函数的解析式;
(2)若方程在
上有且仅有一个实根,求
的取值范围;
(3)若函数与
的图象关于直线
对称,设
,已知
对任意的
恒成立,求
的取值范围.
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【题目】已知半径为的圆的圆心在
轴上,圆心的横坐标是整数,且与直线
相切.
(Ⅰ)求圆的方程;
(Ⅱ)设直线
与圆相交于
两点,求实数
的取值范围;
(Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下,是否存在实数,使得弦
的垂直平分线
过点
,若存在,求出实数
的值;若不存在,请说明理由
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【题目】已知函数f(x)的导函数为f'(x),且f'(x)<f(x)对任意的x∈R恒成立,则下列不等式均成立的是( )
A.f(ln2)<2f(0),f(2)<e2f(0)
B.f(ln2)>2f(0),f(2)>e2f(0)
C.f(ln2)<2f(0),f(2)>e2f(0)
D.f(ln2)>2f(0),f(2)<e2f(0)
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