【题目】如图,已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=5,AC=4,BC=3,AA1=4,点D在AB上.
(1)若D是AB中点,求证:AC1∥平面B1CD;
(2)当 = 时,求二面角B﹣CD﹣B1的余弦值.
【答案】
(1)证明:连接BC1,交B1C于E,连接DE.
∵ABC﹣A1B1C1是直三棱柱,D是AB中点
∴侧面BB1C1C为矩形,DE为△ABC1的中位线
∴DE∥AC1,
又∵DE平面B1CD,AC1平面B1CD
∴AC1∥平面B1CD.
(2)∵AB=5,AC=4,BC=3,即AB2=AC2+BC2
∴AC⊥BC,所以如图,以C为原点建立空间直角坐标系C﹣xyz.
则B (3,0,0),A (0,4,0),
A1 (0,4,4),B1 (3,0,4).
设D (a,b,0)(a>0,b>0),
∵点D在线段AB上,且 = ,即 =
∴a= ,b=
∴ =(﹣3,0,﹣4), =( , ,0)
显然 =(0,0,4)是平面BCD的一个法向量
设平面B1CD的法向量为 =(x,y,z),那么
由 =0, =0,得 ,
令x=1,得 =(1,﹣3,﹣ )
∴cos = = =﹣
又二面角B﹣CD﹣B1是锐角,故其余项值为
【解析】(1)通过作平行线,由线线平行证明线面平行;(2)建立空间直角坐标系,求得两平面的法向量,利用向量法求二面角的余弦值.
【考点精析】本题主要考查了直线与平面平行的判定的相关知识点,需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行;简记为:线线平行,则线面平行才能正确解答此题.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】对于函数 ,我们把使 的实数 叫做函数 的零点,且有如下零
点存在定理:如果函数 在区间 上的图像是连续不断的一条曲线,并且有 ,那么,函数 在区间 内有零点.给出下列命题:
①若函数 在 上是单调函数,则 在 上有且仅有一个零点;
②函数 有 个零点;
③函数 和 的图像的交点有且只有一个;
④设函数 对 都满足 ,且函数 恰有 个不同的零点,则这6个零点的和为18;
其中所有正确命题的序号为________.(把所有正确命题的序号都填上)
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【题目】下列命题: 1)y=|cos(2x+ )|最小正周期为π;
2)函数y=tan 的图象的对称中心是(kπ,0),k∈Z;
3)f(x)=tanx﹣sinx在(﹣ , )上有3个零点;
4)若 ∥ , ,则
其中错误的是
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【题目】已知函数f(x)= x3﹣x2+x.
(1)求函数f(x)在[﹣1,2]上的最大值和最小值;
(2)若函数g(x)=f(x)﹣4x,x∈[﹣3,2],求g(x)的单调区间.
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【题目】对定义域分别为D1 , D2的函数y=f(x),y=g(x),规定:函数h(x)= ,f(x)=x﹣2(x≥1),g(x)=﹣2x+3(x≤2),则h(x)的单调减区间是
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