Question

抛物线x²=2y离点A（0，a）最近的点恰好是顶点，这个结论成立的充要条件是（　　）

• A、a≤0
• B、a≤

  1

  2

• C、a≤1
• D、a≤2

Answer 1

分析：将抛物线上的点离点A的距离用两点距离的平方表示出来，再研究二次函数的最值．

解答：解：设点P（x，y）为抛物线上的任意一点，则点P离点A（0，a）的距离的平方为
AP²=x²+（y-a）²
=x²+y²-2ay+a²
∵x²=2y
∴AP²=2y+y²-2ay+a²（y≥0）
=y²+2（1-a）y+a²（y≥0）
∴对称轴为a-1
∵离点A（0，a）最近的点恰好是顶点
∴a-1≤0解得a≤1
故选C．

点评：本题考查二次函数在给定区间的最值的求法：弄清对称轴与区间的关系，在y=0时取到最小值，故函数在定义域内递增，对称轴在区间左边．