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设椭圆ax2+by2=1与直线x+y-1=0相交于A、B两点,点C是AB的中点,若|AB|=2
2
,OC的斜率为
2
2
,求椭圆的方程.
分析:先根据题意设A(x1,y1),B(x2,y2),那么A、B的坐标是方程组
ax2+by2=1
x+y-1=0
的解.两式相减,得出b与a的关系,再由方程组消去y得到关于x的一元二次方程,再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得a,b值,从而求得椭圆的方程.
解答:解:设A(x1,y1),B(x2,y2),那么A、B的坐标是方程组
ax2+by2=1
x+y-1=0
的解.
由ax12+by12=1,ax22+by22=1,两式相减,得
a(x1+x2)(x1-x2)+b(y1+y2)(y1-y2)=0,
因为
y1-y2
x1-x2
=-1,
所以
y1y2
x1+x2
=
a
b

2yc
2xc
=
a
b
yc
xc
=
a
b
=
2
2
,所以b=
2
a①
再由方程组消去y得(a+b)x2-2bx+b-1=0,
由|AB|=
x1-x2)  2+(y1-y22
=
2(x1-x2)2
=
2[(x1+x22-4x1x2]  
=2
2

得(x1+x22-4x1x2=4,即(
2b
a+b
2-4•
b-1
a+b
=4.②
由①②解得a=
1
3
,b=
2
3

故所求的椭圆的方程为
x2
3
+
y2
3
=1.
点评:本题是典型的求圆锥曲线方程的问题,将A、B两点坐标代入圆锥曲线方程,两式相减得关于直线AB斜率的等式,再利用对称点所连线段被对称轴垂直平分来列式求解.
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