Question

设椭圆ax²+by²=1与直线x+y-1=0相交于A、B两点，点C是AB的中点，若|AB|=2

2

，OC的斜率为

2

2

，求椭圆的方程．

Answer 1

分析：先根据题意设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），那么A、B的坐标是方程组

ax2+by2=1 x+y-1=0

的解．两式相减，得出b与a的关系，再由方程组消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得a，b值，从而求得椭圆的方程．

解答：解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），那么A、B的坐标是方程组

ax2+by2=1 x+y-1=0

的解．
由ax₁²+by₁²=1，ax₂²+by₂²=1，两式相减，得
a（x₁+x₂）（x₁-x₂）+b（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
因为

y1-y2

x1-x2

=-1，
所以

y1+ y2

x1+x2

=

a

b

，
即

2yc

2xc

=

a

b

，

yc

xc

=

a

b

=

2

2

，所以b=

2

a①
再由方程组消去y得（a+b）x²-2bx+b-1=0，
由|AB|=

( x1-x2)  2+(y1-y2) 2

=

2(x1-x2)2

=

2[(x1+x2) 2-4x1x2]

=2

2

，
得（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4，即（

2b

a+b

）²-4•

b-1

a+b

=4．②
由①②解得a=

1

3

，b=

2

3

，
故所求的椭圆的方程为

x2

3

+

2  y2

3

=1．

点评：本题是典型的求圆锥曲线方程的问题，将A、B两点坐标代入圆锥曲线方程，两式相减得关于直线AB斜率的等式，再利用对称点所连线段被对称轴垂直平分来列式求解．