Question

设f(x)＝x³＋mx²＋nx.

(1)如果g(x)＝f′(x)－2x－3在x＝－2处取得最小值－5，求f(x)的解析式；

(2)如果m＋n<10(m，n∈N^*)，f(x)的单调递减区间的长度是正整数，试求m和n的值．(注：区间(a，b)的长度为b－a)．

Answer 1

解析　(1)由题得g(x)＝x²＋2(m－1)x＋(n－3)＝(x＋m－1)²＋(n－3)－(m－1)²，已知g(x)在x＝－2处取得最小值－5，

所以即m＝3，n＝2.

即得所要求的解析式为f(x)＝x³＋3x²＋2x.

(2)因为f′(x)＝x²＋2mx＋n，且f(x)的单调递减区间的长度为正整数，故f′(x)＝0一定有两个不同的根，

从而Δ＝4m²－4n>0，即m²>n.

不妨设为x₁，x₂，则|x₂－x₁|＝2为正整数．

故m≥2时才可能有符合条件的m，n，

当m＝2时，只有n＝3符合要求，

当m＝3时，只有n＝5符合要求，

当m≥4时，没有符合要求的n.

综上所述，只有m＝2，n＝3或m＝3，n＝5满足上述要求．