Question

若存在实数k，b，使得函数f（x）和g（x）对其定义域上的任意实数x同时满足：f（x）≥kx+b且g（x）≤kx+b，则称直线：l：y=kx+b为函数f（x）和g（x）的“隔离直线”．已知f（x）=x²，g（x）=2elnx（其中e为自然对数的底数）．试问：
（1）函数f（x）和g（x）的图象是否存在公共点，若存在，求出交点坐标，若不存在，说明理由；
（2）函数f（x）和g（x）是否存在“隔离直线”？若存在，求出此“隔离直线”的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据求导公式，求出函数的导数，根据导数判断函数的单调性并求极值，从而可知，函数f（x）和g（x）的图象在x=

e

处有公共点
（2）存在f（x）和g（x）的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k．则隔离直线方程为y-e=k（x-

e

，即y=kx-k

e

+e，构造函数，求出函数函数的导数，根据导数求出函数的最值

解答：解：（1）∵F（x）=f（x）-g（x）=x²-2elnx（x＞0），
∴F′（x）=2x-

2e

x

=

2(x- e )(x+ e )

x

令F′（X）=0，得x=

e

，
当0＜x＜

e

时，F′（X）＜0，X＞

e

时，F′（x）＞0
故当x=

e

时，F（x）取到最小值，最小值是0
从而函数f（x）和g（x）的图象在x=

e

处有公共点
（2）由（1）可知，函数f（x）和g（x）的图象在x=

e

处有公共点，因此存在f（x）和g（x）的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k．则隔离直线方程为y-e=k（x-

e

，即y=kx-k

e

+e
由f（x）≥kx-k

e

+e（x?R），可得x^2-kx-k

e

+e，
由f（x）≥kx-k

e

+e（x?R），可得x²-kx+k

e

-e≥0当x?R恒成立，
则△=k²-4k

e

+4e=（k-2

c

）^2≤0，只有k=2

e

，此时直线方程为：y=2

e

x-e，
下面证明g（x）≤2

e

x-e^exx＞0恒成立，
令^G（x）=2

e

x-e-g（x）=2

e

x-e-2elnx，
G′（X）=2

c

-

2c

x

=（2

c

x-2c）/x=2

c

（x-

e

）/x，
当x=

e

时，G′（X）=0，当0＜x＜

e

时G′（X）＞0，
则当x=

e

时，G（x）取到最小值，极小值是0，也是最小值．
所以G（x）=2

e

x-e-g（x）≥0，则g（x）≤2

e

x-e当x＞0时恒成立．
∴函数f（x）和g（x）存在唯一的隔离直线y=2

e

x-e

点评：本题以函数为载体，考查新定义，关键是对新定义的理解，考查函数的求导，利用导数求最值，属于难题．