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    已知椭圆C1：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的右焦点为F，上顶点为A，P为C1上任一点，MN是圆C2：x2+（y-3）2=1的一条直径，若与AF平行且在y轴上的截距为3-
    		2
    的直线l恰好与圆C2相切．
    （Ⅰ）已知椭圆C1的离心率；
    （Ⅱ）若
    PM
    •
    PN
    的最大值为49，求椭圆C1的方程．
    分析：（Ⅰ先得出直线l的方程，再由直线与圆相切得a2=2c2，从而求得离心率；
    （II）设P（x，y）由
    PM
    •
    PN
    的最大值为49，求得c的值，从而求得椭圆方程．
    解答：解：（Ⅰ）由题意可知直线l的方程为bx+cy-(3-
    		2
    )c=0    ，
    因为直线与圆c2：x2+（y-3）2=1相切，所以d=
    |3c-3c+
    		2c
    |
    		b2+c2
    =1    ，即a2=2c2，
    从而e=
    		2
    2
    ；（6分）
    （Ⅱ）设P（x，y）、圆C2的圆心记为C2，则
    x2
    2c2
    +
    y2
    c2
    =1    （c＞0），又
    PM
    •
    PN
    =(
    PC2
    +
    C2M)
    •(
    PC2
    +
    C2N
    )=
    PC2
    2    -
    C2N
    2    =x2+（3-y）2-1=-（y+3）2+2c2+17（-c≤y≤c）．（8分）
    j当c≥3时，(
    PM
    •
    PN
    )MAX=17+2c2=49    ，解得c=4，此时椭圆方程为
    x2
    32
    +
    y2
    16
    =1    ；
    k当0＜c＜3时，(
    PM
    •
    PN
    )MAX=-(-c+3)2+17+2c2=49    ，
    解得c=5
    		2
    -3    但c=5
    		2
    -3＞3    ，故舍去．
    综上所述，椭圆的方程为
    x2
    32
    +
    y2
    16
    =1    ．（14分）
    点评：本题主要考查直线、圆、椭圆的基本性质及位置关系的应用，渗透向量、函数最值等问题，培养学生综合运用知识的能力．
    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆C1：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，其中F2也是抛物线C2：y2=4x的焦点，M是C1与C2在第一象限的交点，且|MF2|=
    5
    3
    ．
    （1）求椭圆C1的方程；
    （2）已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆C1上，对角线BD所在的直线的斜率为1．
    ①当直线BD过点（0，
    1
    7
    ）时，求直线AC的方程；
    ②当∠ABC=60°时，求菱形ABCD面积的最大值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网已知椭圆C1：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的一条准线方程是x=
    25
    4
    ，其左、右顶点分别是A、B；双曲线C2：
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1    的一条渐近线方程为3x-5y=0．
    （1）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率；
    （2）在第一象限内取双曲线C2上一点P，连接AP交椭圆C1于点M，连接PB并延长交椭圆C1于点N，若
    AM
    =
    MP
    ．求
    MN
    •
    AB
    的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆C1：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的离心率为
    		2
    2
    ，直线l：y=x+2
    		2
    与以原点为圆心、以椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切．
    （Ⅰ）求椭圆C1的方程．
    （Ⅱ）设椭圆C1的左焦点为F1，右焦点为F2，直线l1过点F1，且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂直l1于点P，线段PF2的垂直平分线交l2于点M，求点M的轨迹C2的方程；
    （Ⅲ）若AC、BD为椭圆C1的两条相互垂直的弦，垂足为右焦点F2，求四边形ABCD的面积的最小值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆C1：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）与双曲线C2：x2-
    y2
    4
    =1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点，若C1恰好将线段AB三等分，则b2=
    0.5
    0.5
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•汕头一模）已知椭圆C1：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，离心率e=
    1
    2

    （1）设抛物线C2：y2=4x的准线与x轴交于F1，求椭圆的方程；
    （2）设已知双曲线C3以椭圆C1的焦点为顶点，顶点为焦点，b是双曲线C3在第一象限上任意-点，问是否存在常数λ（λ＞0），使∠BAF1=λ∠BF1A恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

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