【题目】已知几何体ABCDEF中,AB∥CD,AD⊥DC,EA⊥平面ABCD,FC∥EA,AB=AD=EA=1,CD=CF=2.
(Ⅰ)求证:平面EBD⊥平面BCF;
(Ⅱ)求点B到平面ECD的距离.
【答案】解:(I)证明:∵AB∥CD,AD⊥DC,AB=AD=1,CD=2,
∴BD=BC= ,
∴BD2+BC2=CD2,
∴BD⊥BC,
∵EA⊥平面ABCD,BD平面ABCD,
∴EA⊥BD,∵EA∥FC,
∴FC⊥BD,
又BC平面BCF,FC平面BCF,BC∩CF=C,
∴BD⊥平面FBC,
又BD平面BDE,
∴平面BDE⊥平面BCF.
(II)解:过A作AM⊥DE,垂足为M,
∵EA⊥平面ABCD,CD平面ABCD,
∴EA⊥CD,又CD⊥AD,EA∩AD=A,
∴CD⊥平面EAD,又AM平面EAD,
∴AM⊥CD,又AM⊥DE,DE∩CD=D,
∴AM⊥平面CDE,
∵AD=AE=1,EA⊥AD,
∴AM= ,即A到平面CDE的距离为
,
∵AB∥CD,CD平面CDE,AB平面CDE,
∴AB∥平面CDE,
∴B到平面CDE的距离为 .
【解析】(I)先计算BD,BC,利用勾股定理的逆定理证明BD⊥BC,再利用EA⊥平面ABCD得出AE⊥BD,从而有CF⊥BD,故而推出BD⊥平面FBC,于是平面EBD⊥平面BCF;(II)证明AB∥平面CDE,于是B到平面CDE的距离等于A到平面CDE的距离,过A作AM⊥DE,证明AM⊥平面CDE,于是AM的长即为B到平面CDE的距离.
【考点精析】掌握平面与平面垂直的判定是解答本题的根本,需要知道一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.
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【题目】若函数f(x)在其图像上存在不同的两点A(x1 , y1),B(x2 , y2),其坐标满足条件:|x1x2+y1y2|﹣ 的最大值为0,则称f(x)为“柯西函数”, 则下列函数:
①f(x)=x+ (x>0);
②f(x)=lnx(0<x<3);
③f(x)=2sinx;
④f(x)= .
其中为“柯西函数”的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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【题目】设函数f(x)=|x﹣a|+|2x+2|﹣5(a∈R). (Ⅰ)试比较f(﹣1)与f(a)的大小;
(Ⅱ)当a≥﹣1时,若函数f(x)的图象和x轴围成一个三角形,则实数a的取值范围.
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【题目】某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位:小时),制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是[17.5,30],样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30].根据直方图,若这200名学生中每周的自习时间不超过m小时的人数为164,则m的值约为( )
A.26.25
B.26.5
C.26.75
D.27
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【题目】已知函数f(x)=ln(ax+b)+ex﹣1(a≠0).
(1)当a=﹣1,b=1时,判断函数f(x)的零点个数;
(2)若f(x)≤ex﹣1+x+1,求ab的最大值.
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【题目】某社区新建了一个休闲小公园,几条小径将公园分成5块区域,如图,社区准备从4种颜色不同的花卉中选择若干种种植在各块区域,要求每个区域随机用一种颜色的花卉,且相邻区域(用公共边的)所选花卉颜色不能相同,则不同种植方法的种数共有( )
A.96
B.114
C.168
D.240
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【题目】共享单车进驻城市,绿色出行引领时尚,某市有统计数据显示,2016年该市共享单车用户年龄等级分布如图1所示,一周内市民使用单车的频率分布扇形图如图2所示,若将共享单车用户按照年龄分为“年轻人”(20岁~39岁)和“非年轻人”(19岁及以下或者40岁及以上)两类,将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用单车用户”,使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用单车用户”,已知在“经常使用单车用户”中有 是“年轻人”.
(Ⅰ)现对该市市民进行“经常使用共享单车与年龄关系”的调查,采用随机抽样的方法,抽取一个容量为200的样本,请你根据图表中的数据,补全下列2×2列联表,并根据列联表的独立性检验,判断能有多大把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关?
使用共享单车情况与年龄列联表
年轻人 | 非年轻人 | 合计 | |
经常使用共享单车用户 | 120 | ||
不常使用共享单车用户 | 80 | ||
合计 | 160 | 40 | 200 |
(Ⅱ)将频率视为概率,若从该市市民中随机任取3人,设其中经常使用共享单车的“非年轻人”人数为随机变量X,求X的分布列与期望.
(参考数据:
P(K2≥k0) | 0.15 | 0.10 | 0.050 | 0.025 | 0.010 |
k0 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
其中,K2= ,n=a+b+c+d)
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