Question

若非零不共线向量

a

、

b

满足|

a

-

b

|=|

b

|，则下列结论正确的个数是（　　）
①向量

a

、

b

的夹角恒为锐角；
②2|

b

|²＞

a

•

b

；
③|2

b

|＞|

a

-2

b

|；
④|2

a

|＜|2

a

-

b

|．

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：对于①，利用已知条件，推出向量

a

、

b

、

a

-

b

组成的三角形是等腰三角形，判定正误即可；
对于②，利用数量积公式，结合已知条件，判断正误；
对于③，通过平方以及向量的数量积判断正误．
对于④，|2

a

|＜|2

a

-

b

|，得到4|

a

|cos＜

a

，

b

＞＜|

b

|不一定成立，说明正误即可．

解答：解：①因为非零向量

a

、

b

满足|

a

-

b

|=|

b

|，所以由向量

a

、

b

、

a

-

b

组成的三角形是等腰三角形，
且向量

a

是底边，所以向量

a

、

b

的夹角恒为锐角，①正确；
②：2|

b

|²＞

a

•

b

=|

a

|•|

b

|cos＜

a

，

b

＞⇒2|

b

|＞|

a

|cos＜

a

，

b

＞，
而|

b

|+|

a

-

b

|=2|

b

|＞|

a

|＞|

a

|cos＜

a

，

b

＞，所以②正确；
③：|2

b

|＞|

a

-2

b

|⇒4|

b

|²＞|

a

-2

b

|²=|

a

|²-4|

a

|•|

b

|cos＜

a

，

b

＞+4|

b

|²
⇒4|

a

|•|

b

|cos＜

a

，

b

＞＞|

a

|²⇒4•|

b

|cos＜

a

，

b

＞＞|

a

|，
而2|

b

|cos＜

a

，

b

＞=|

a

|，所以4|

b

|cos＜

a

，

b

＞＞|

a

|，③正确；
④：|2

a

|＜|2

a

-

b

|⇒4|

a

|cos＜

a

，

b

＞＜|

b

|，而4|

a

|cos＜

a

，

b

＞＜|

b

|不一定成立，所以④不正确．
故选C．

点评：本题考查向量的数量积的应用，向量的模的求法，考查计算能力．