Question

已知S_n是等差数列{a_n}前n项的和，且S₄=2S₂+4，数列{b_n}满足bn=

1+an

an

，对任意n∈N₊都有b_n≤b₈成立，则a₁的取值范围是

（-7，-6）

．

Answer 1

分析：由S₄=2S₂+4，能导出d=1．由bn=1+

1

an

，知bn=1+

1

n+a1-1

，再由对任意n∈N₊都有b_n≤b₈成立，知对a_n的正数部分，

1

an

递减，而b₈是b_n中的最大的，说明数列{a_n}前7项必然为负值才能保证

1

an

前7项比第8项小，由此能求出a₁的取值范围．

解答：解：∵S₄=2S₂+4，
∴4a1+

3×4

2

d=2(2a1+d)+4，
∴d=1．
∵bn=1+

1

an

，
∴bn=1+

1

n+a1-1

，
∵b_n≤b₈，a_n递增，
∴对a_n的正数部分，

1

an

递减，
而b₈是b_n中的最大的，
说明数列{a_n}前7项必然为负值才能保证

1

an

前7项比第8项小，
所以

a 7=a1+6＜0 a8=a1+7＞0

，
所以-7＜a₁＜-6．
故答案为：（-7，-6）．

点评：本题考查数列和不等式的综合应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．