Question

13．求满足下列条件的f（x）：
（1）f（x-$\frac{1}{x}$）=$\frac{{x}^{2}}{1{+x}^{4}}$；
（2）2f（x）+f（1-x）=x²．

Answer 1

分析 （1）直接利用配方法化简求解函数的解析式．
（2）利用构造方程组的方法，求解函数的解析式即可．

解答 解：（1）f（x-$\frac{1}{x}$）=$\frac{{x}^{2}}{1{+x}^{4}}$；
可得f（x-$\frac{1}{x}$）=$\frac{1}{{x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}}}$=$\frac{1}{（x-\frac{1}{x}）^{2}+2}$，
f（x）=$\frac{1}{{x}^{2}+2}$．
（2）2f（x）+f（1-x）=x²…①
用1-x代替x，可得2f（1-x）+f（x）=（1-x）²…②
2×①-②可得：3f（x）=3x²-（1-x）²=2x²+2x-1．
∴f（x）=$\frac{2}{3}$x²+$\frac{2}{3}$x-$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查函数的解析式的求法，配方法以及方程组的方法的应用，考查函数与方程的思想，考查计算能力．