Question

已知点P在曲线y=x²-1上，它的横坐标为a（a＞0），过点P作曲线y=x²的切线．
（1）求切线的方程；
（2）求证：由上述切线与y=x²所围成图形的面积S与a无关．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,定积分在求面积中的应用

专题：综合题,导数的概念及应用

分析：（1）确定P的坐标，设切点Q的坐标，利用导数的几何意义，可得切线的方程；
（2）利用定积分表示面积，即可得出结论．

解答： （1）解：点P的坐标为（a，a²-1），
设切点Q的坐标为（x，x²），
由k_PQ=

a2-1-x2

a-x

及y′=2x知

a2-1-x2

a-x

=2x，
解得x=a+1或x=a-1．
所以所求的切线方程为2（a+1）x-y-（a+1）²=0或2（a-1）x-y-（a-1）²=0…（6分）
（2）证明：S=

∫

a a-1

[x²-2（a-1）x+（a-1）²]dx+

∫

a+1 a

[x²-2（a+1）x+（a+1）²]dx=

2

3

．
故所围成的图形面积S=

2

3

，此为与a无关的一个常数…（12分）

点评：本题考查定积分在求面积中的应用、利用导数研究曲线上某点切线方程，考查学生的计算能力，属于中档题．