【题目】设函数. 若曲线y=
在点P(e,f(e))处的切线方程为y=2x-e(为自然对数的底数).
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)若,试比较
与
的大小,并予以证明.
【答案】(1)详见解析;(2) 当时,
≥
(当且仅当a=b时取等号).
【解析】试题分析:(1)求出函数f(x)的解析式,求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可;(2)等价于证明f(a)+f(b)﹣2f()>0,变形表达式为
,构造函数
,研究函数的单调性使得最小值大于0即可.
解析:
(Ⅰ)函数的定义域为
.
.
依题意得,即
所以.
所以,
.
当时,
; 当
时,
.
所以函数的单调递减区间是
, 单调递增区间是
.
(Ⅱ)当时,
.
等价于
,
也等价于
不妨设,
设(
),
则.
当时,
,所以函数
在
上为增函数,
即,
故当时,
(当且仅当
时取等号).
令,则
,
即(当且仅当
时取等号),
综上所述,当时,
≥
(当且仅当a=b时取等号).
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【题目】经过中央电视台《魅力中国城》栏目的三轮角逐,黔东南州以三轮竞演总分排名第一名问鼎“最具人气魅力城市”.如图统计了黔东南州从2010年到2017年的旅游总人数(万人次)的变化情况,从一个侧面展示了大美黔东南的魅力所在.根据这个图表,在下列给出的黔东南州从2010年到2017年的旅游总人数的四个判断中,错误的是( )
A. 旅游总人数逐年增加
B. 2017年旅游总人数超过2015、2016两年的旅游总人数的和
C. 年份数与旅游总人数成正相关
D. 从2014年起旅游总人数增长加快
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】以平面直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位,已知曲线
的参数方程为
,(
为参数,且
),曲线
的极坐标方程为
.
()求
的极坐标方程与
的直角坐标方程.
()若
是
上任意一点,过点
的直线
交
于点
,
,求
的取值范围.
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【题目】如图,设椭圆:
,长轴的右端点与抛物线
:
的焦点
重合,且椭圆
的离心率是
.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)过作直线
交抛物线
于
,
两点,过
且与直线
垂直的直线交椭圆
于另一点
,求
面积的最小值,以及取到最小值时直线
的方程.
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【题目】某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系,对该校200名高三学生平均每天课外体育锻炼时间进行调查,如表:(平均每天锻炼的时间单位:分钟)
将学生日均课外体育锻炼时间在的学生评价为“课外体育达标”.
(1)请根据上述表格中的统计数据填写下面的列联表;
课外体育不达标 | 课外体育达标 | 合计 | |
男 | |||
女 | 20 | 110 | |
合计 |
(2)通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关?
参考格式:,其中
0.025 | 0.15 | 0.10 | 0.005 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
5.024 | 2.072 | 6.635 | 7.879 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【题目】平面直角坐标系中,直线的参数方程为
,(
为参数).以原点为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)写出直线的极坐标方程与曲线
的直角坐标方程;
(2)已知与直线平行的直线
过点
,且与曲线
交于
两点,试求
.
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