Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为 (为参数，).

（1）当时，若曲线上存在两点关于点成中心对称，求直线的斜率；

（2）在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，极坐标方程为的直线与曲线相交于两点,若，求实数的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】分析：（1）将参数方程消去参数得到曲线的普通方程为，由曲线上存在两点关于点成中心对称可得，求得，于是得．（2）将曲线C的参数方程消去参数可得，根据圆的弦长公式可得，即为所求．

详解：（1）当时，曲线的参数方程为(为参数)，

消去参数得，

∴圆心的坐标为．

∵曲线上存在两点关于点成中心对称，

∴，

又，

∴直线的斜率．

（2）由 (为参数，)消去参数得曲线的普通方程为，

∴圆心的坐标为，半径为．

又直线的极坐标方程可化为，

故其直角坐标方程为，

又，

∴，

解得．

∴实数的值为．