Question

给出下列四个结论：
①当a为任意实数时，直线（a-1）x-y+2a+1=0恒过定点P，则过点P且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是x2=

4

3

y；
②已知双曲线的右焦点为（5，0），一条渐近线方程为2x-y=0，则双曲线的标准方程是

x2

5

-

y2

20

=1；
③抛物线y=ax2(a≠0)的准线方程为y=-

1

4a

；
④已知双曲线

x2

4

+

y2

m

=1，其离心率e∈（1，2），则m的取值范围是（-12，0）．
其中所有正确结论的个数是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：对于①，先救出直线恒过的定点，再求出符合条件的抛物线方程，判断得①正确；②中根据渐近线方程求得a和b的关系进而根据焦距求得a和b，椭圆方程可得．③把抛物线方程整理成标准方程，进而根据抛物线的性质可得抛物线的准线方程．④根据离心率的范围求得m的取值范围判断④正确．

解答：解：①整理直线方程得（x+2）a+（1-x-y）=0，可知直线（a-1）x-y+2a+1=0恒过定点P（-2，3），故符合条件的方程是 x2=

4

3

y，则①正确；
②依题意知

b

a

=2，a²+b²=25，得a=

5

，b=2

5

，则双曲线的标准方程是

x2

5

-

y2

20

=1，故可知结论②正确．
③抛物线方程得x²=

1

a

y，可知准线方程为 y=-

1

4a

，故③正确．
④离心率1＜e=

4-m

2

＜2，解得-12＜m＜0，又m＜0，，故m的范围是-12＜m＜0，④正确，
故其中所有正确结论的个数是：4
故选D．

点评：本小题主要考查抛物线的标准方程及性质、双曲线的标准方程及性质、不等式的解法等基础知识，考查数形结合思想．属于基础题．