Question

椭圆中心是原点O，它的短轴长为，右焦点F（c，0）（c＞0），它的长轴长为2a（a＞c＞0），直线l：与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程和离心率；
（Ⅱ）若，求直线PQ的方程；
（Ⅲ）设 （λ＞1），过点P且平行于直线l的直线与椭圆相交于另一点M，证明：．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）首先由条件|OF|=2|FA|列式，求出椭圆的离心率，然后结合短轴长2b=及a²=b²+c²可求a²，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）写出过点A的直线方程，设出直线与椭圆相交于P、Q两点的坐标，联立直线方程和椭圆方程后求出P、Q两点的横坐标的和与积，由，得到P、Q两点的坐标的关系，转化为横坐标的关系后，把前面得到的和与积的表达式代入即可求出直线的斜率，则直线方程可求；
（Ⅲ）由向量的坐标表示写出，，再由 （λ＞1）及P，Q两点的坐标都适合椭圆方程列式找出P，Q两点的坐标与λ的关系，最后把要证的等式的两边的坐标都用λ和纵坐标表示即可得证．
解答：解：如图，
（Ⅰ）设椭圆方程为．
由|OF|=2|FA|，得c=2（），整理得：3c²=2a²，∴e=．
联立，解得：a²=6，b²=2．
∴椭圆的方程为，离心率．
（Ⅱ）由题意可知直线l的斜率显然存在，设其斜率为k（k≠0），且A（3，0）．
则直线l的方程为y=k（x-3），设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
联立，得：（1+3k²）x²-18k²x+27k²-6=0．
由△=（-18k²）²-4（1+3k²）（27k²-6）=12（2-3k²）＞0，得：．
，．
由，得x₁x₂+y₁y₂=0．
即x₁x₂+（kx₁-3k）（kx₂-3k）=
==0．
化简得：，∴k=，满足．
（Ⅲ），，
由已知得方程组，解得：．
∵F（2，0），M（x₁，-y₁）．
故=（λ（x₂-3）+1，-y₁）
==．
而．
∴．
点评：本题考查了椭圆标准方程的求法，考查了直线和圆锥曲线的位置关系，考查了数形结合的解题思想，解答此类问题的关键是，常常采用设而不求的方法，即设出直线与圆锥曲线交点的坐标，解答时不求坐标，而是运用根与系数关系求出两个点的横坐标的和与积，然后结合已知条件整体代入求解问题，此题还应注意的是要保证直线和椭圆交点的存在性，此题是难题．