Question

已知椭圆．
（1）求过点且被点P平分的弦所在直线的方程；
（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；
（3）过点A（2，1）引直线与椭圆交于B、C两点，求截得的弦BC中点的轨迹方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）设出两个交点坐标，利用两点在椭圆上，代入椭圆方程，利用点差法，求斜率，再代入直线的点斜式方程即可．
（2）同（1）类似，设出这一系列的弦与椭圆的交点坐标，代入椭圆方程，利用点差法，求斜率，再让斜率等于2，化简，即可得斜率为2的平行弦的中点轨迹方程．
（3）设出直线BC方程，用参数k表示，，再利用中点坐标公式，消去k，即可得弦BC中点的轨迹方程．
解答：解：（1）设过点且被点P平分的弦与椭圆交与A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）点，
则=，=
∵A，B在椭圆上，∴①②
②-①得，
=-
即，弦AB的斜率为-
∴方程为y-=-（x-）
即
（2）设斜率为2的平行弦的中点坐标为（x，y），
则根据中点弦的斜率公式，有-=2

（3）当过点A（2，1）引的直线斜率存在时，设方程为y-1=k（x-2），
代入椭圆方程，消y，得（+k²）x²+2（1-2k）kx+4k²-4k=0
∴x₁+x₂=，y₁+y₂=，
设弦BC中点坐标为（x，y），则x==，y==，
∴=-2k
又∵k=，∴，整理得x²-2x+2y²-2y=0
当过点A（2，1）引的直线斜率不存在时，方程为x=2，与椭圆无交点
∴所求弦BC中点的轨迹方程为x²-2x+2y²-2y=0．
点评：本题主要考查了点差法求中点弦的斜率，属于圆锥曲线的常规题．