Question

2．双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1内有一点P（1，4），一直线过点P与双曲线相交于P₁，P₂两点，弦P₁P₂被点P平分，则直线P₁P₂的方程为x-y+3=0．

Answer 1

分析 利用平方差法：设P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），代入双曲线方程然后作差，由中点坐标公式及斜率公式可求得直线l的斜率，再用点斜式即可求得直线方程．

解答 解：设P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），则x₁+x₂=2，y₁+y₂=8，
代入双曲线方程，两式相减得$\frac{1}{4}$（x₁+x₂）（x₁-x₂）-$\frac{1}{16}$（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0
∴$\frac{1}{2}$（x₁-x₂）-$\frac{1}{2}$（y₁-y₂）=0
∴k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=1，
故所求直线方程为y-4=x-1，即x-y+3=0．
故答案为：x-y+3=0．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查直线方程的求法，涉及弦中点问题，往往考虑利用“平方差法”加以解决．