Question

已知集合A={x|（x-2）（x-3a-1）＜0}，函数y=lg

2a-x

x-(a2+1)

的定义域为集合B．
（1）若a=2，求集合B；
（2）若A=B，求实数a的值．

Answer 1

分析：（I）由a=2及对数函数的定义域，直接解分式不等式可求集合B
（II）要求集合A，需要对2与3a+1的大小进行讨论分①2＜3a+1，②2=3a+1③2＞3a+1三种情况分别求解集合A，然后根据集合A=B，从而可求a

解答：解：（Ⅰ）由

4-x

x-5

＞0，得4＜x＜5，
故集合B={x|4＜x＜5}；（6分）
（Ⅱ）由题可知，a²+1＞2a
∴B=（2a，a²+1）（8分）
①若2＜3a+1，即a＞

1

3

时，A=（2，3a+1），
又因为A=B，所以

2a=2 a2+1=3a+1

，无解；
②若2=3a+1时，显然不合题意；
③若2＞3a+1，即a＜

1

3

时，A=（3a+1，2），
又因为A=B，所以

2a=3a+1 a2+1=2

，解得a=-1．
综上所述，a=-1．（14分）

点评：本题主要考查了集合的相等的应用，解决本题的关键是要熟练掌握分式不等式与对数函数的定义，还要注意分类讨论的思想在解题中的应用．