Question

6．已知a，b为正实数，且a+b=2，则$\frac{{a}^{2}+2}{a}$+$\frac{{b}^{2}}{b+1}$-2的最小值为$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 化简$\frac{{a}^{2}+2}{a}$+$\frac{{b}^{2}}{b+1}$-2=$\frac{1}{3}$（$\frac{2（b+1）}{a}$+$\frac{a}{b+1}$），从而利用基本不等式解得最小值．

解答 解：∵$\frac{{a}^{2}+2}{a}$+$\frac{{b}^{2}}{b+1}$-2
=a+$\frac{2}{a}$+$\frac{（b+1）^{2}-2（b+1）+1}{b+1}$-2
=a+$\frac{2}{a}$+b+1-2+$\frac{1}{b+1}$-2
=（$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b+1}$）-1
=$\frac{1}{3}$（$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b+1}$）（a+b+1）-1
=$\frac{1}{3}$（2+$\frac{2（b+1）}{a}$+1+$\frac{a}{b+1}$）-1
=$\frac{1}{3}$（$\frac{2（b+1）}{a}$+$\frac{a}{b+1}$）
≥$\frac{1}{3}$•2$\sqrt{2}$
（当且仅当$\frac{2（b+1）}{a}$=$\frac{a}{b+1}$，即a=$\sqrt{2}$（b+1），即b=3$\sqrt{2}$-4，a=6-3$\sqrt{2}$时，等号成立）；
故最小值为$\frac{2\sqrt{2}}{3}$；
故答案为：$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查了学生的化简运算能力及基本不等式的应用．