Question

(本小题满分14分)

已知为实数，数列满足,当时，

(1)当时，求数列的前100项的和；

(2)证明：对于数列，一定存在，使；

(3)令,当时，求证：

 

Answer 1

【答案】

(1)

.

(2)证明：见解析；

(3)   

【解析】(1)解本小题的关键是确定当a=100时，由题意知数列的前34项成首项为100，公差为-3的等差数列，从第35项开始，奇数项均为3，偶数项均为1.

(2)本小题易采用数学归纳法进行证明.再由n=k+1时成立时，一定要用上n=k时的归纳假设，否则证明无效.

(3)先由,再求出.

从而

然后再讨论n是奇数和n是偶数两种情况进行证明.

解：(1)当a=100时，由题意知数列的前34项成首项为100，公差为-3的等差数列，从第35项开始，奇数项均为3，偶数项均为1，从而

………………(3分)

.………………(5分)

(2)证明：①若0<a₁≤3,则题意成立…………………(6分)

②若a₁>3此时数列的前若干项满足a_n-a_n-1=3,即a_n=a₁-3(n-1).

设,则当n=k+1时，

从而此时命题成立……(8分)

③若a₁≤0，由题意得a₂=4-a₁>3，则有②的结论知此时命题也成立．

综上所述，原命题成立……………(9分)

(3)当2<a<3时，因为

所以  ……………(10分)

因为b_n>0，所以只要证明当n≥3时不等式成立即可．而

………………………………(12分)

①当n=2k(k∈N^*且k≥2)时，

…（13分）

②当n=2k-l(k∈N^*且k≥2)时，出于b_n>0，所以

综上所述，原不等式成立………(14分)