Question

在极坐标系中，已知两点O（0，0），B（2

2

，

π

4

）．
（1）求以OB为直径的圆C的极坐标方程，然后化成直角方程；
（2）以极点O为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为

x=t y=1+2t

（t为参数）．若直线l与圆C相交于M，N两点，圆C的圆心为C，求△MNC的面积．

Answer 1

分析：（1）设出点P的坐标，利用Rt△OPB中的边角关系cos∠POB=

OP

OB

即可求出；
（2）求出圆心到直线的距离和弦长即可得出面积．

解答：解：（1）设P（ρ，θ）为圆上任意一点，则|OP|=ρ，∠POB=θ-

π

4

，
在Rt△POB中，cos（θ-

π

4

）=

|OP|

|OB|

，即ρ=2

2

cos(θ-

π

4

)，
∴ρ²=2ρ cosθ+2ρ sinθ?，化为x²+y²=2x+2y，
∴圆C的直角坐标方程为 （x-1）²+（y-1）²=2．
（2）由直线l的参数方程

x=t y=1+2t

消去参数t化为普通方程y=2x+1，
圆心C（1，1）到直线l的距离为d=

|2-1+1|

5

=

2

5

，
弦长|MN|=2

2-( 2 5 )2

=

2 30

5

，
∴S=

1

2

×

2 30

5

×

2

5

=

2 6

5

．

点评：熟练掌握求圆的极坐标方程及与直角坐标方程的互化、直线与圆的相交弦长问题及点到直线的距离是解题的关键．