Question

已知曲线y=

1

3

x3+

4

3

，
（1）求曲线在点P（2，4）处的切线方程；
（2）求曲线过点P（2，4）的切线方程；
（3）求斜率为4的曲线的切线方程．

Answer 1

分析：（1）根据曲线的解析式求出导函数，把P的横坐标代入导函数中即可求出切线的斜率，根据P的坐标和求出的斜率写出切线的方程即可；
（2）设出曲线过点P切线方程的切点坐标，把切点的横坐标代入到（1）求出的导函数中即可表示出切线的斜率，根据切点坐标和表示出的斜率，写出切线的方程，把P的坐标代入切线方程即可得到关于切点横坐标的方程，求出方程的解即可得到切点横坐标的值，分别代入所设的切线方程即可；
（3）设出切点坐标，由切线的斜率为4，把切点的横坐标代入导函数中求出的函数值等于4列出关于切点横坐标的方程，求出方程的解即可得到切点的横坐标，代入曲线方程即可求出相应的纵坐标，根据切点坐标和斜率分别写出切线方程即可．

解答：解：（1）∵P（2，4）在曲线y=

1

3

x3+

4

3

上，且y'=x²
∴在点P（2，4）处的切线的斜率k=y'|_x=2=4；
∴曲线在点P（2，4）处的切线方程为y-4=4（x-2），即4x-y-4=0．
（2）设曲线y=

1

3

x3+

4

3

与过点P（2，4）的切线相切于点A（x₀，

1

3

x03+

4

3

），
则切线的斜率k=y′|x=x0=x02，
∴切线方程为y-（

1

3

x03+

4

3

）=x₀²（x-x₀），
即y=

x

2 0

•x-

2

3

x

3 0

+

4

3

∵点P（2，4）在切线上，
∴4=2x₀²-

2

3

x03+

4

3

，即x₀³-3x₀²+4=0，
∴x₀³+x₀²-4x₀²+4=0，
∴（x₀+1）（x₀-2）²=0
解得x₀=-1或x₀=2
故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0．
（3）设切点为（x₀，y₀）
则切线的斜率为k=x₀²=4，x₀=±2．切点为（2，4），（-2，-

4

3

）
∴切线方程为y-4=4（x-2）和y+

4

3

=4（x+2）
即4x-y-4=0和12x-3y+20=0．

点评：此题考查学生会利用导数研究曲线上某点的切线方程，是一道综合题．学生在解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”；同时解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标解决．