Question

19、用0，1，2，3，4这五个数字，可以组成多少个满足下列条件的没有重复的五位数．
（1）被4整除；
（2）比21034大的偶数；
（3）左起第二、四位是奇数的偶数．

Answer 1

分析：（1）数字排列问题，0不能排首位，特殊元素（特殊位置）应优先考虑；
（2）合理分类或分步，做到不重不漏；
（3）正难则反，注意间接法的应用．

解答：解：（1）被4整除的数，其特征应是末两位数是4的倍数，
可分两类：当末两位数是20，40，04时，
其排列数为3A₃³=18个，当末两位数是12，24，32时，
其排列数为3•A₂¹A₂²=12个，故满足条件的五位数共有3A₃³+3A₂¹A₂²=30个．
（2）法一：可分五类，当末位数是0，而首位数是2时，有A₂¹A₂²+A₂²=6个；
当末位数字是0，而首位数字是3或4时，有A₂¹A₃³=12个；
当末位数字是2，而首位数字是3或4时，有A₂¹A₃³=12个；当末位数字是4，
而首位数字是2时，有A₂²+A₁¹=3个；当末位数字是4，而首位数字是3时，有A₃³=6个．
故有（A₂¹A₂²+A₂²）+A₂¹A₃³+A₂¹A₃³+A₂²+A₁¹+A₃³=39个．
法二：不大于21034的偶数可分为三类：万位数字为1的偶数，有A₃¹A₃³=18个；
万位数字为2，而千位数字是0的偶数，有A₂¹个；还有21034本身．
而由0，1，2，3，4组成的五位偶数有A₄⁴+A₂¹A₃³A₆³=60个．
故满足条件的五位偶数共有60-A₃¹A₃³-A₂¹-1=39个．
（3）法一：可分两类，0是末位数，有A₂²A₂²=4个，2或4是末位数，
有A₂²A₂¹4个．故共有A₂²A₂²+A₂²A₂¹=8个．
法二：第二、四位从奇数1，3中取，有A₂²；
首位从2，4中取，有A₂¹个；余下的排在剩下的两位，有A₂²个，
故共有A₂²A₂¹A₂²=8个．

点评：本题考查有限制条件问题的计数问题，要注意对特殊元素或者特殊位置进行优先考虑，注意分类加法原理和分步乘法原理的运用，考查学生的分类讨论思想．