Question

若数列{A_n}满足A_n+1=A_n²，则称数列{A_n}为“平方递推数列”．已知数列{a_n}中，a₁=2，点（a_n，a_n+1）在函数f（x）=2x²+2x的图象上，其中n为正整数．
（1）证明数列{2a_n+1}是“平方递推数列”，且数列{lg（2a_n+1）}为等比数列；
（2）设（1）中“平方递推数列”的前n项之积为T_n，即T_n=（2a₁+1）（2a₂+1）…（2a_n+1），求数列{a_n}的通项及T_n关于n的表达式；
（3）记b_n=log_2an+1T_n，求数列{b_n}的前n项和S_n，并求使S_n＞2012的n的最小值．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由a_n+1=2a_n²+2a_n，2a_n+1+1=2（2a_n²+2a_n）+1=（2a_n+1）²，能证明数列{2a_n+1}是“平方递推数列”，由此能求出数列{lg（2a_n+1）}为首项是lg5，公比为2的等比数列．
（2）由已知得a_n=

1

2

（5 2n-1-1），由此能求出T_n=5 2n-1．
（3）由b_n=

lgTn

lg(2an+1)

=

(2n-1)lg5

2n-1lg5

=2-

1

2n-1

，得S_n=2n-2+

1

2n-1

．由此能求出使S_n＞2012的n的最小值．

解答： （1）证明：∵a_n+1=2a_n²+2a_n，2a_n+1+1=2（2a_n²+2a_n）+1=（2a_n+1）²，
∴数列{2a_n+1}是“平方递推数列”．
由以上结论lg（2a_n+1+1）=lg（2a_n+1）²=2lg（2a_n+1），
∴数列{lg（2a_n+1）}为首项是lg5，公比为2的等比数列．

（2）解：lg（2a_n+1）=[lg（2a₁+1）]×2^n-1=2^n-1lg 5=lg5 2n-1，
∴2a_n+1=5 2n-1，∴a_n=

1

2

（5 2n-1-1）．
∵lg T_n=lg（2a₁+1）+…+lg（2a_n+1）=（2ⁿ-1）lg 5，
∴T_n=5 2n-1．

（3）解：∵b_n=

lgTn

lg(2an+1)

=

(2n-1)lg5

2n-1lg5

=2-

1

2n-1

，
∴S_n=2n-2+

1

2n-1

．
∵S_n＞2 014，∴2n-2+

1

2n-1

＞2 014．
∴n+

1

2n

＞1008．∴n_min=1008．

点评：本题考查数列是“平方递推数列”，且为等比数列的证明，考查数列{a_n}的通项及T_n关于n的表达式的求法，考查使S_n＞2012的n的最小值的求法，解题时要注意对数性质的合理运用．