Question

已知P、A、B、C是球O表面上的点，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=1，BC=

3

，PA=

5

，则球O的表面积为（　　）

A．9π

B．8π

C．6π

D．4π

Answer 1

分析：根据AC⊥BC，且PA⊥平面ABC，，得到三棱锥的三条侧棱两两垂直，以三条侧棱为棱长得到一个长方体，由圆的对称性知长方体的各个顶点都在这个球上，长方体的体积就是圆的直径，求出直径，得到圆的面积．

解答：解：∵AC⊥BC，且PA⊥平面ABC，
∴三棱锥的三条侧棱两两垂直，
∴可以以三条侧棱为棱长得到一个长方体，
由圆的对称性知长方体的各个顶点都在这个球上，
∴球的直径等于长方体对角线，
即2R=

1+3+5

=3，
∴球的表面积是4π×R²=4π×（

3

2

）²=9π
故选A．

点评：本题考查球的体积与表面积，考查球与长方体之间的关系，考查三棱锥与长方体之间的关系，以及转化、构造补形的解题方法．