Question

已知函数f(x)= (Ⅰ)求它的定义域和值域；(Ⅱ)判断它的奇偶性；（Ⅲ）判断它的周期性。

Answer 1

(Ⅰ)函数定义域为，k∈Z 函数值域为[） (Ⅱ) 不具备奇偶性 （Ⅲ）2π

（1）x必须满足sinx-cosx>0，利用单位圆中的三角函数线及，k∈Z∴ 函数定义域为，k∈Z

∵
∴ 当x∈时，
∴
∴
∴ 函数值域为[）
(Ⅱ)∵ f(x)定义域在数轴上对应的点关于原点不对称∴ f(x)不具备奇偶性
（Ⅲ）∵ f(x+2π)=f(x)∴ 函数f(x)最小正周期为2π
注；利用单位圆中的三角函数线可知，以Ⅰ、Ⅱ象限角平分线为标准，可区分sinx-cosx的符号；
以Ⅱ、Ⅲ象限角平分线为标准，可区分sinx+cosx的符号，如图。