Question

数列{a_n}满足a₁=1且an+1=(1+

1

n2+n

)an+

1

2n

(n≥1)．
（1）用数学归纳法证明：a_n≥2（n≥2）
（2）设bn=

an+1-an

an

，证明数列{b_n}的前n项和Sn＜

7

4

（3）已知不等式ln（1+x）＜x对x＞0成立，证明：an＜2e

3

4

（n≥1）（其中无理数e=2.71828…）

Answer 1

分析：（1）利用数学归纳法的证题步骤，关键验证当n=k+1时不等式成立；
（2）对通项进行放缩，利用裂项法求和，即可证得结论；
（3）先证明n≥2时，lnan+1-lnan≤

1

n2+n

+

1

2n+1

，再累加，即可证得结论．

解答：证明：（1）①当n=2 时，a₂=2，不等式成立．
②假设当n=k（k≥2）时不等式成立，即a_k≥2，那么ak+1=(1+

1

k2+k

)ak+

1

2k

＞ak≥2．
即当n=k+1时不等式成立．
根据①②可知：a_n≥2对 n≥2成立．…（4分）
（2）∵

an+1

an

=1+

1

n2+n

+

1

2nan

，∴bn=

an+1-an

an

=

an+1

an

-1=

1

n2+n

+

1

2nan

当n=1时，b1=

a2-a1

a1

=1，
当n≥2时，a_n≥2，bn=

1

n2+n

+

1

2nan

≤

1

n2+n

+

1

2n+1

，
故Sn=b1+b2+…+bn≤1+(

1

2•3

+

1

3•4

+…+

1

n(n+1)

)+(

1

23

+

1

24

+…+

1

2n+1

)
=1+[

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

]+

1

4

[1-(

1

2

)n-1]＜1+

1

2

+

1

4

=

7

4

…（9分）
（3）当n≥2时，由（1）的结论知：an+1=(1+

1

n2+n

)an+

1

2n

≤(1+

1

n2+n

+

1

2n+1

)an
∵ln（1+x）＜x，
∴lnan+1≤ln(1+

1

n2+n

+

1

2n+1

)+lnan＜lnan+

1

n2+n

+

1

2n+1

，
∴lnan+1-lnan≤

1

n2+n

+

1

2n+1

（n≥2）
求和可得lnan-lna2＜

1

2•3

+

1

3•4

+…+

1

n(n-1)

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n

=

1

2

-

1

n

+

1

22

-

1

2n

＜

3

4

而a₂=2，∴ln

an+1

2

＜

3

4

，∴an＜2e

3

4

（n≥2），而a1=1＜2e

3

4

故对任意的正整数n，有an＜2e

3

4

．…（14分）

点评：本题考查数学归纳法，考查不等式的证明，考查放缩法、累加法，考查学生分析解决问题的能力，有一定的难度．