分析 (1)运用等比数列的性质和等差数列和等比数列的通项公式,计算即可得到;
(2)运用数列的求和方法:错位相减法,计算即可得到;
(3)假设数列{anbn}中有三项成等差数列,设为akbk,albl,ambm,即有2l•2l-1=k•2k-1+m•2m-1,k<l<m,运用数列的单调性,即可判断.
解答 解:(1)a1=1,且a1、a2、a4为等比数列{bn}的前三项,
设等差数列{an}的公差d不为0,
即有a1a4=a22,
则为1+3d=(1+d)2,
解得d=1(0舍去),
则an=1+n-1=n,
bn=a1•($\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$)n-1=2n-1;
(2)$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{n}{{2}^{n}•{2}^{n-1}}$=n•($\frac{1}{2}$)2n-1,
前n项和Tn=1•$\frac{1}{2}$+2•$\frac{1}{8}$+3•$\frac{1}{32}$+…+n•($\frac{1}{2}$)2n-1,
$\frac{1}{4}$Tn=1•$\frac{1}{8}$+2•$\frac{1}{32}$+3•$\frac{1}{128}$+…+n•($\frac{1}{2}$)2n+1,
两式相减可得$\frac{3}{4}$Tn=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{32}$+…+($\frac{1}{2}$)2n-1-n•($\frac{1}{2}$)2n+1
=$\frac{\frac{1}{2}(1-\frac{1}{{4}^{n}})}{1-\frac{1}{4}}$-n•($\frac{1}{2}$)2n+1
化简可得Tn=$\frac{8}{9}$-$\frac{8+6n}{9•{4}^{n}}$;
(3)假设数列{anbn}中有三项成等差数列,设为akbk,albl,ambm,
即有2l•2l-1=k•2k-1+m•2m-1,k<l<m,
由于n•2n-1递增,且2n-1≥n,
则k•2k-1+m•2m-1≥k2+m2,
由k<l<m,可得m2>l2,m2>k2,
k•2k-1+m•2m-1≥2k•2k-1,
则2l•2l-1=k•2k-1+m•2m-1不成立.
数列{anbn}中没有三项成等差数列.
点评 本题考查等差数列和等比数列的性质、通项公式和求和公式的运用,同时考查数列的求和方法:错位相减法,考查运算能力,属于中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
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