Question

16．已知公差不为0的等差数列{a_n}满足a₁=1，且a₁、a₂、a₄为等比数列{b_n}的前三项．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）求数列{$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$}的前n项和；
（3）数列{a_nb_n}中是否有三项成等差数列，若有，请写出一组；若没有，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）运用等比数列的性质和等差数列和等比数列的通项公式，计算即可得到；
（2）运用数列的求和方法：错位相减法，计算即可得到；
（3）假设数列{a_nb_n}中有三项成等差数列，设为a_kb_k，a_lb_l，a_mb_m，即有2l•2^l-1=k•2^k-1+m•2^m-1，k＜l＜m，运用数列的单调性，即可判断．

解答 解：（1）a₁=1，且a₁、a₂、a₄为等比数列{b_n}的前三项，
设等差数列{a_n}的公差d不为0，
即有a₁a₄=a₂²，
则为1+3d=（1+d）²，
解得d=1（0舍去），
则a_n=1+n-1=n，
b_n=a₁•（$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$）^n-1=2^n-1；
（2）$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{n}{{2}^{n}•{2}^{n-1}}$=n•（$\frac{1}{2}$）^2n-1，
前n项和T_n=1•$\frac{1}{2}$+2•$\frac{1}{8}$+3•$\frac{1}{32}$+…+n•（$\frac{1}{2}$）^2n-1，
$\frac{1}{4}$T_n=1•$\frac{1}{8}$+2•$\frac{1}{32}$+3•$\frac{1}{128}$+…+n•（$\frac{1}{2}$）²ⁿ⁺¹，
两式相减可得$\frac{3}{4}$T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{32}$+…+（$\frac{1}{2}$）^2n-1-n•（$\frac{1}{2}$）²ⁿ⁺¹
=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{4}^{n}}）}{1-\frac{1}{4}}$-n•（$\frac{1}{2}$）²ⁿ⁺¹
化简可得T_n=$\frac{8}{9}$-$\frac{8+6n}{9•{4}^{n}}$；
（3）假设数列{a_nb_n}中有三项成等差数列，设为a_kb_k，a_lb_l，a_mb_m，
即有2l•2^l-1=k•2^k-1+m•2^m-1，k＜l＜m，
由于n•2^n-1递增，且2^n-1≥n，
则k•2^k-1+m•2^m-1≥k²+m²，
由k＜l＜m，可得m²＞l²，m²＞k²，
k•2^k-1+m•2^m-1≥2k•2^k-1，
则2l•2^l-1=k•2^k-1+m•2^m-1不成立．
数列{a_nb_n}中没有三项成等差数列．

点评 本题考查等差数列和等比数列的性质、通项公式和求和公式的运用，同时考查数列的求和方法：错位相减法，考查运算能力，属于中档题．