Question

设x，y是正实数，且x+y=1，则

x2

x+2

+

y2

y+1

的最小值是

1

4

．

Answer 1

分析：该题是考查利用基本不等式求最值问题，但直接运用基本不等式无从下手，可考虑运用换元思想，把要求最值的分母变为单项式，然后利用“1”的代换技巧转化为能利用基本不等式求最值得问题．

解答：解：设x+2=s，y+1=t，则s+t=x+y+3=4，
所以

x2

x+2

+

y2

y+1

=

(s-2)2

s

+

(t-1)2

t

=(s-4+

4

s

)+(t-2+

1

t

)=(s+t)+(

4

s

+

1

t

)-6=(

4

s

+

1

t

)-2．
因为

4

s

+

1

t

=

1

4

(

4

s

+

1

t

)(s+t)=

1

4

(

4t

s

+

s

t

+5)≥

9

4

所以

x2

x+2

+

y2

y+1

≥

1

4

．
故答案为

1

4

．

点评：本题考查了基本不等式，考查了换元法和数学转化思想，训练了整体代换技巧，解答此题的关键是运用换元后使分式的分母由多项式变为了单项式，展开后使问题变得明朗化．