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精英家教网如图,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形,PA=AD=a,M,N分别是AB,PC的中点.
(1)求平面PCD与平面ABCD所成二面角的大小;
(2)求证:MN⊥平面PCD;
(3)当AB的长度变化时,求异面直线PC与AD所成角的可能范围.
分析:(1)由题设条件及几何体的直观图可证得∠PDA是平面PCD与平面ABCD所成二面角的平面角,在Rt△PAD中,求出此角的值即可得到二面角的大小;
(2)观察图形,取PD中点E,连接AE,EN,又M,N分别是AB,PC的中点可证得四边形AMNE是平行四边形,得出MN∥AE,再证明AE⊥平面PCD即可得到MN⊥平面PCD;
(3)求异面直线所成的角得先作角,由图形及题设条件知∠PCB为异面直线PC,AD所成的角,在三角形PCB中解此角即可;
解答:精英家教网解:(1)PA⊥平面ABCD,CD⊥AD,∴PD⊥CD.
故∠PDA是平面PCD与平面ABCD所成二面角的平面角.
在Rt△PAD中,PA⊥AD,PA=AD,∴∠PDA=45°.…(3分)
(2)如图,取PD中点E,连接AE,EN,又M,N分别是AB,PC的中点,
∴EN∥
1
2
CD∥
1
2
AB∴AMNE是平行四边形∴MN∥AE.
在等腰Rt△PAD中,AE是斜边的中线.∴AE⊥PD.
由PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形,可推出CD⊥PD
又CD⊥AD,AD∩PD=D
∴CD⊥平面PAD,∴CD⊥AE,
又PD∩CD=D,∴AE⊥平面PCD.∴MN⊥平面PCD.…(7分)
(3)∵AD∥BC,∴∠PCB为异面直线PC,AD所成的角.
由三垂线定理知PB⊥BC,设AB=x(x>0).∴tan∠PCB=
a2+x2
a
=
1+(
x
a
)
2

又∵
x
a
∈(0,+∞),∴tan∠PCB∈(1,+∞).
又∠PCB为锐角,∴∠PCB∈(
π
4
π
2
),
即异面直线PC,AD所成的角的范围为(
π
4
π
2
).…(12分)
点评:本题考查与二面角有关的立体几何综合题,解题的关键是熟练掌握二面角的求法,其步骤一般分为三步,作角,证角,求角,其中第二步证角易被忽略导致失分,解题时要注意解题的骤,本题中第二小问证明线面垂直,要注意正确使用判定定理,第三问中求异面直线所成的角,其作法也是要先作角,证角,求角,几何中求角的题其做题步骤基本上都分为此三步,做题后注意总结一下这个规律
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(1)当点E为BC的中点时,试判断EF与平面PAC的位置关系,并求出EF到平面PAC的距离;
(2)命题:“不论点E在边BC上何处,都有PE⊥AF”,是否成立,并说明理由.

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