Question

已知向量

a

=（sinx，cosx），

b

=（6sinx+cosx，7sinx-2cosx），设函数f（x）=

a

•

b

-2．
（1）求函数f（x）的最大值，并求取得最大值时x的值；
（2）在A为锐角的△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，若f（A）=4且△ABC的面积为3，b+c=2+3

2

，求a的值．

Answer 1

分析：（1）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则表示出

a

•

b

，代入f（x）的解析式中，利用同角三角函数间的基本关系将其中的2变为2（sin²x+cos²x），去括号合并后，利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域可得出函数的最大值，并根据正弦函数的图象与性质求出此时x的值；
（2）由f（A）=4，将x=A，f（x）=4代入第一问化简后的f（x）的解析式中，变形后根据特殊角的三角函数值求出A的度数，利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，将已知的面积及sinA的值代入，求出bc的值，然后利用余弦定理得到a²=b²+c²-2bccosA，将cosA的值代入后利用完全平方公式变形，将bc及b+c的值代入，即可求出a的值．

解答：解：（1）∵向量

a

=（sinx，cosx），

b

=（6sinx+cosx，7sinx-2cosx），
∴f（x）=

a

•

b

-2=sinx（6sinx+cosx）+cosx（7sinx-2cosx）-2
=6sin²x+sinxcosx+7sinxcosx-2cos²x-2
=6sin²x-2cos²x-2（sin²x+cos²x）+8sinxcosx
=4（sin²x-cos²x）+4sin2x
=4sin2x-4cos2x
=4

2

sin（2x-

π

4

），
∵sin（2x-

π

4

）∈[-1，1]，
∴当2x-

π

4

=2kπ+

π

2

，即x=kπ+

3π

8

时，正弦函数sin（2x-

π

4

）取得最大值，且最大值为1，
则f（x）的最大值为4

2

，此时x=kπ+

3π

8

；
（2）由f（A）=4，得到4

2

sin（2A-

π

4

）=4，即sin（2A-

π

4

）=

2

2

，
又A为三角形的内角，∴2A-

π

4

=

π

4

或2A-

π

4

=

3π

4

，
解得：A=

π

4

或A=

π

2

（由A为锐角，故舍去），
∴A=

π

4

，
又三角形的面积为3，
∴S=

1

2

bcsinA=3，即bc=6

2

，又b+c=2+3

2

，
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-

2

bc=（b+c）²-2bc-

2

bc
=（2+3

2

）²-12

2

-12=10，
则a=

10

．

点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：平面向量的数量积运算，二倍角的正弦、余弦函数公式，同角三角间的基本关系，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，三角形的面积公式，余弦定理，以及完全平方公式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．