【题目】已知椭圆: 的离心率为,以原点为圆心,椭圆的长半轴为半径的圆与直线相切.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)已知点, 为动直线与椭圆的两个交点,问:在轴上是否存在点,使为定值?若存在,试求出点的坐标和定值,若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)定点为, .
【解析】试题分析:(Ⅰ)由e=,以原点O为圆心,椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线相切,求出a,b,由此能求出椭圆的方程.
(Ⅱ)由,得(1+3k2)x2﹣12k2x+12k2﹣6=0,由此利用韦达定理、向量的数量积,结合已知条件能求出在x轴上存在点E,使为定值,定点为().
试题解析:
(Ⅰ)由e=,得=,即c=a,①
以原点O为圆心,椭圆C的长半轴长为半径的圆为x2+y2=a2,
此圆与直线2x﹣+6=0相切,∴a==,
代入①得c=2,(4分)
∴b2=a2﹣c2=2,∴椭圆的方程为.
(Ⅱ)由,得(1+3k2)x2﹣12k2x+12k2﹣6=0,(6分)
设A(x1,y1),B(x2,y2),∴,,
根据题意,假设x轴上存在定点E(m,0),使得为定值,
则有=(x1﹣m,y1)(x2﹣m,y2)=(x1﹣m)(x2﹣m)+y1y2
=
=(k2+1)
=(k2+1)﹣(2k2+m)+(4k2+m2)
=,
要使上式为定值,即与k无关,则应有3m2﹣12m+10=3(m2﹣6),
即m=,此时=为定值,定点为().
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【题目】根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定:居民区的年平均浓度不得超过3S微克/立方米, 的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米.某市环保局随机抽取了一居民区2016年20天的24小时平均浓度(单位:微克/立方米)的监测数据,数据统计如图表:
组别 | 浓度(微克/立方米) | 频数(天) | 频率 |
第一组 | 3 | 0.15 | |
第二组 | 12 | 0.6 | |
第三组 | 3 | 0.15 | |
第四组 | 2 | 0.1 |
(Ⅰ)将这20天的测量结果按表中分组方法绘制成的样本频率分布直方图如图.
(ⅰ)求图中的值;
(ⅱ)在频率分布直方图中估算样本平均数,并根据样本估计总体的思想,从的年平均度考虑,判断该居民区的环境质量是否需要改善?并说明理由.
(Ⅱ)将频率视为概率,对于2016年的某3天,记这3天中该居民区的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为,求的分布列和数学期望.
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【题目】为了响应我市“创建宜居港城,建设美丽莆田”,某环保部门开展以“关爱木兰溪,保护母亲河”为主题的环保宣传活动,将木兰溪流经市区河段分成段,并组织青年干部职工对每一段的南、北两岸进行环保综合测评,得到分值数据如下表:
南岸 | 77 | 92 | 84 | 86 | 74 | 76 | 81 | 71 | 85 | 87 |
北岸 | 72 | 87 | 78 | 83 | 83 | 85 | 75 | 89 | 90 | 95 |
(Ⅰ)记评分在以上(包括)为优良,从中任取一段,求在同一段中两岸环保评分均为优良的概率;
(Ⅱ)根据表中数据完成下面茎叶图;
(Ⅲ)分别估计两岸分值的中位数,并计算它们的平均值,试从计算结果分析两岸环保情况,哪边保护更好.
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【题目】已知椭圆G: 的离心率为,过椭圆G右焦点F的直线m:x=1与椭圆G交于点M(点M在第一象限).
(Ⅰ)求椭圆G的方程;
(Ⅱ)已知A为椭圆G的左顶点,平行于AM的直线l与椭圆G相交于B,C两点,请判断直线MB,MC是否关于直线m对称,并说明理由.
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【题目】已知函数f(x)=sinωxcosωx-cos2ωx+ (ω>0),经化简后利用“五点法”画其在某一周期内的图象时,列表并填入的部分数据如下表:
x | ① |
| |||
f(x) | 0 | 1 | 0 | -1 | 0 |
(1)请直接写出①处应填的值,并求函数f(x)在区间上的值域;
(2)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知f(A+)=1,b+c=4,a=,求△ABC的面积.
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【题目】若直角坐标平面内两点P,Q满足条件:①P,Q都在函数y=f(x)的图象上;②P,Q关于原点对称,则称(P,Q)是函数y=f(x)的一个“伙伴点组”(点组(P,Q)与(Q,P)看作同一个“伙伴点组”).已知函数f(x)=有两个“伙伴点组”,则实数k的取值范围是( )
A. (-∞,0) B. (0,1)
C. D. (0,+∞)
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【题目】关于函数图象的对称性与周期性,有下列说法:①若函数y=f(x)满足f(x+1)=f(3+x),则f(x)的一个周期为T=2;②若函数y=f(x)满足f(x+1)=f(3-x),则f(x)的图象关于直线x=2对称;③函数y=f(x+1)与函数y=f(3-x)的图象关于直线x=2对称;④若函数与函数f(x)的图象关于原点对称,则,其中正确的个数是()
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
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【题目】已知双曲线E: (a>0,b>0)的渐近线方程为3x±4y=0,且过焦点垂直x轴的直线与双曲线E相交弦长为,过双曲线E中心的直线与双曲线E交于A,B两点,在双曲线E上取一点C(与A,B不重合),直线AC,BC 的斜率分别为k1,k2,则k1k2等于( )
A. B. C. D.
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【题目】设函数f(x)=|x-1|+|x-a|,a∈R.
(Ⅰ)当a=4时,求不等式f(x)≥7的解集;
(Ⅱ)若f(x)≥5对x∈R恒成立,求a的取值范围.
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