Question

已知动点P与双曲线x²－y²＝1的两个焦点F₁，F₂的距离之和为定值，

（1）求动点P的轨迹方程；

（2）设M(0，－1)，若斜率为k(k≠0)的直线l与P点的轨迹交于不同的两点A、B，若要使|MA|＝|MB|，试求k的取值范围．

 

Answer 1

【答案】

(1)∵x²－y²＝1，∴c＝.   PF₁|＋|PF₂|＝a=   b=1

∴P点的轨迹方程为＋y²＝1.

(2)设l：y＝kx＋m(k≠0)，则由，     将②代入①得：(1＋3k²)x²＋6kmx＋3(m²－1)＝0  (*)

设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则AB中点Q(x₀，y₀)的坐标满足

Q(－)   ∵|MA|＝|MB|，∴M在AB的中垂线上，

∴k_lk_AB＝－1 ，解得m＝ …③    又由于(*)式有两个实数根，知△＞0，

即 (6km)²－4(1＋3k²)[3(m²－1)]＝12(1＋3k²－m²)＞0  ④  ，将③代入④得

12[1＋3k²－()²]＞0，解得－1＜k＜1，由k≠0，

∴k的取值范围是k∈(－1，0)∪(0，1).

【解析】略