【题目】已知椭圆C中心在原点,焦点在x轴上,左右焦点分别为F1,F2,且|F1F2|=2,点(1,)在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过F1的直线l与椭圆C相交于A,B两点,且△AF2B的面积为,求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)(x﹣1)2+y2=2.
【解析】试题分析:(Ⅰ)先设出椭圆的方程,根据题设中的焦距求得c和焦点坐标,根据点(1,)到两焦点的距离求得a,进而根据b=
求得b,得到椭圆的方程.
(Ⅱ)先看当直线l⊥x轴,求得A,B点的坐标进而求得△AF2B的面积与题意不符故排除,进而可设直线l的方程为:y=k(x+1)与椭圆方程联立消y,设A(x1,y1),B(x2,y2),根据韦达定理可求得x1+x2和x1x2,进而根据表示出|AB|的距离和圆的半径,求得k,最后求得圆的半径,得到圆的方程.
解:(Ⅰ)设椭圆的方程为,由题意可得:
椭圆C两焦点坐标分别为F1(﹣1,0),F2(1,0).
∴.
∴a=2,又c=1,b2=4﹣1=3,
故椭圆的方程为.
(Ⅱ)当直线l⊥x轴,计算得到:
,
,不符合题意.
当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为:y=k(x+1),
由,消去y得(3+4k2)x2+8k2x+4k2﹣12=0
显然△>0成立,设A(x1,y1),B(x2,y2),
则,
又
即,
又圆F2的半径,
所以,
化简,得17k4+k2﹣18=0,
即(k2﹣1)(17k2+18)=0,解得k=±1
所以,,
故圆F2的方程为:(x﹣1)2+y2=2.
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【题目】某经济开发区规划要修建一地下停车场,停车场横截面是如图所示半椭圆形AMB,其中AP为2百米,BP为4百米,,M为半椭圆上异于A,B的一动点,且
面积最大值为
平方百米,如图建系.
求出半椭圆弧的方程;
若要将修建地下停车场挖出的土运到指定位置P处,N为运土点,以A,B为出口,要使运土最省工,工程部需要指定一条分界线,请求出分界线所在的曲线方程;
若在半椭圆形停车场的上方修建矩形商场,矩形的一边CD与AB平行,设
百米,试确定t的值,使商场地面的面积最大.
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【题目】某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此作了四次试验,得到的数据如下:
零件的个数 | ||||
加工的时间 |
(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图;
(2)求出关于
的线性回归方程
.
(3)试预测加工个零件需要多少时间?
附录:参考公式: ,
.
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【题目】某企业为了了解职工的工作状况,随机抽取了一个车间对职工工作时间的情况进行暗访,工作时间在小时及以上的为合格.把所得数据进行整理后,分成
组画出频率分布直方图(如图所示),但由于工作疏忽,没有画出最后一组,只知道最后一组的频数是
.
(Ⅰ)求这次暗访中工作时间不合格的人数;
(Ⅱ)已知在工作时间超过小时的人中有两名女职工,现要从工作时间在
小时以上的人中选出两名代表在职工代表大会上发言,求至少选出一位女职工作代表的概率.
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【题目】设f(x)=(e-x-ex),则不等式f(x)<f(1+x)的解集为( )
A. (0,+∞) B. (-∞,-)
C. (-,+∞) D. (-
,0)
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【题目】(本小题满分13分)甲、乙两位学生参加数学竞赛培训,现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次,记录如下:
甲:82 81 79 78 95 88 93 84
乙:92 95 80 75 83 80 90 85
(1)用茎叶图表示这两组数据;
(2)现要从中选派一人参加数学竞赛,从统计学的角度(在平均数、方差或标准差中选两个)考虑,你认为选派哪位学生参加合适?请说明理由.
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