Question

若椭圆E₁：

x2

a 2 1

+

y2

b 2 1

=1和椭圆E₂：

x2

a 2 2

+

y2

b 2 2

=1满足

a2

a1

=

b2

b1

=m(m＞0)，则称这两个椭圆相似，m是相似比．
（Ⅰ）求过（2，

6

)且与椭圆

x2

4

+

y2

2

=1相似的椭圆的方程；
（Ⅱ）设过原点的一条射线l分别于（I）中的两椭圆交于A、B两点（点A在线段OB上）．求|OA|•|OB|的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）直接根据定义得到有

2 a = 2 b 4 a2 + 6 b2 =1

解得a，b．即可得到与椭圆

x2

4

+

y2

2

=1相似的椭圆方程；
（2）先求出当射线l的斜率不存在时求出结论；再对当射线l的斜率存在时，设其方程y=kx，联立直线与两个椭圆方程分别求出线段的长度，再结合函数的单调性即可求出|OA|•|OB|的最大值和最小值．

解答：解：（Ⅰ）设与

x2

4

+

y2

2

=1相似的椭圆的方程

x2

a 2

+

y2

b 2

=1，
有

a 2 = b 2 22 a 2   + ( 6 )2 b 2   =1

⇒

a=4 b=2 2

．
所求方程是

x2

16

+

y2

8

=1．…（6分）
（Ⅱ）当射线l的斜率不存在时A(0，±

2

)，B(0，±2

2

)．
设点P坐标P（0，y₀），则y₀²=4，y₀=±2．即P（0，±2）．…（8分）
当射线l的斜率存在时，设其方程y=kx，P（x，y）
由A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）则

y1=kx1 x 2 1 4 + y 2 1 2 =1

得

x 2 1 = 4 1+2k2 y 2 1 = 4k2 1+2k2

，
∴|OA|=

2 1+k2

1+2k2

，
同理|OB|=

4 1+k2

1+2k2

．…（10分）
当l的斜率不存在时，|OA|•|OB|=

2

•2

2

=4，
当l的斜率存在时，|OA|•|OB|=

8(1+b2)

1+2k2

=4+

4

1+2k2

，
∴4＜|OA|•|OB|≤8，
综上，|OA|•|OB|的最大值是8，最小值是4．…（12分）

点评：本题综合考查直线和椭圆的位置关系，难度较大，解题时要仔细审题，注意公式的灵活运用．