Question

在平面直角坐标系中，若

a

=（x，y+2），

b

=（x，y-2），且|

a

|+|

b

|=8．
（1）求动点M（x，y）的轨迹C的方程；
（2）过点（0，3）作直线l与曲线C交于A、B两点，设

OP

=

OA

+

OB

，是否存在这样的直线l，使得四边形OAPB为矩形？若存在，求出直线l的方程，不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）因为

a

=(x，y+2)，

b

=(x，y-2)，且|

a

|+|

b

|=8．所以动点M到两个定点F₁（0，-2），F₂（0，2）的距离的和为8．由此能求出动点M（x，y）的轨迹C的方程．
（2）若直线l是y轴，则A、B是椭圆的顶点．

OP

=

OA

+

OB

=

0

，所以O与P重合，与四边形OAPB是矩形矛盾．所以直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+3，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

y=kx+3 x2 12 + y2 16 =1

⇒(4+3k2)x2+18kx-21=0，由于△=（18k²）-4（4+3k²）（-21）＞0恒成立．由韦达定理x1+x2=-

18k

4+3k2

，x1x2=-

21

4+3k2

．因为

OP

=

OA

+

OB

，所以OAPB是平行四边形．由此能够导出存在直线l：y=±

5

4

x+3，使得四边形OAPB为矩形．

解答：解：（1）因为

a

=(x，y+2)，

b

=(x，y-2)，且|

a

|+|

b

|=8．
所以动点M到两个定点F₁（0，-2），F₂（0，2）的距离的和为8．
所以轨迹C以F₁（0，-2），F₂（0，2）为焦点的椭圆，
方程为

x2

12

+

y2

16

=1．
（2）为直线l过点（0，3）．
若直线l是y轴，则A、B是椭圆的顶点．

OP

=

OA

+

OB

=

0

，
所以O与P重合，与四边形OAPB是矩形矛盾．
所以直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y=kx+3，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

y=kx+3 x2 12 + y2 16 =1

⇒(4+3k2)x2+18kx-21=0，
由于△=（18k²）-4（4+3k²）（-21）＞0恒成立．
由韦达定理x1+x2=-

18k

4+3k2

，x1x2=-

21

4+3k2

．
因为

OP

=

OA

+

OB

，
所以OAPB是平行四边形．
若存在直线l，使得四边形OAPB为矩形，
则OA⊥OB，即

OA

•

OB

=0，
因为

OA

=(x1，y1)，

OB

=(x2，y2)，
所以

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=0，
所以（1+k²）x₁x₂+3k（x₁+x₂）+9=0，
所以(1+k2)(-

21

4+3k2

)+3k(-

18k

4+3k2

)+9=0
机k2=

5

16

，k=±

5

4

，
故存在直线l：y=±

5

4

x+3，使得四边形OAPB为矩形．

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．易错点是计算量大，容易出错．