Question

已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点．
（Ⅰ）求证：AE⊥PD；
（Ⅱ）若直线PB与平面PAD所成角的正弦值为，求二面角E-AF-C的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先根据条件得到△ABC为正三角形，结合E为BC的中点以及BC∥AD得到AE⊥AD，再利用AD是PD在平面ABCD内的射影，从而得到AE与PD垂直．
（Ⅱ）先根据条件建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，结合直线PB与平面PAD所成角的正弦值为，求出AP的长，进而求出两个半平面的法向量，代入向量的夹角计算公式即可求出结论．
解答：解：（Ⅰ）由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形．
因为E为BC的中点，所以AE⊥BC．又BC∥AD，因此AE⊥AD．
因为PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，
所以PA⊥AE．
而PA?平面PAD，AD?平面PAD，且PA∩AD=A，
所以AE⊥平面PAD，
又PD?平面PAD．
所以 AE⊥PD．…4
（Ⅱ）由（Ⅰ）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，
设AB=2，AP=a，则A（0，0，0），B（，-1，0），
C（，1，0），D（0，2，0），P（0，0，a），E（，0，0），F（）．
所以=（，-1，-a），且=（，0，0）为平面PAD的法向量，
设直线PB与平面PAD所成的角为θ，
由sinθ=|cos＜，＞|===，解得a=2．…4
所以=（，0，0），=（，，1）．
设平面AEF的一法向量为=（x₁，y₁，z₁），则，因此，
取z₁=-1，则=（0，2，-1）．
因为BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，
所以BD⊥平面AFC，故为平面AFC的一法向量．
又=（-，3，0），所以cos＜，＞=．
因为二面角E-AF-C为锐角，故所求二面角的余弦值为．…4
点评：本题综合了直线与平面平行的判定、直线与平面垂直的性质和棱锥的体积等几个知识点，属于中档题．请同学们留意在解题过程中“空间问题平面化的思路”，是立体几何常用的数学思想．